蓝桥杯 - 试题 J: 砍竹子(双向链表+堆/思维)

题目大意：给出一排 nnn 个竹子的高度，每次操作可以选择连续的，高度相同的竹子，使其高度变为 ⌊⌊H2+1⌋⌋\lfloor \sqrt{\lfloor \frac{H}{2}+1\rfloor} \rfloor⌊⌊2H+1⌋⌋，问最少需要执行多少次操作可以使得所有竹子都变成 111

题目分析：最朴素的思路就是去模拟，赛时想到的也是这个思路，但是没时间去写了，就打了个 O(n2logn)O(n^2logn)O(n2logn) 的暴力骗了点分

首先需要知道每次操作的一个性质，根号和除以二相结合，使得 1e181e181e18 的数字没有几次就会下降成 111，这里视为 logloglog 的复杂度是完全可以的

那么模拟的思路就呼之欲出了：

将序列去重（去掉相邻重复的部分）
找到最大值，执行一次操作

赛时感觉需要用线段树或平衡树来维护，没有多想，赛后经过帽帽鸽的提醒，发现这个模型可以套用双向链表+堆的思路去实现。简单来说就是对序列维护一个双向链表，对于需要合并的一段，压缩成一个点，扔进堆里每次选择最大值即可，时间复杂度 O(nlog2n)O(nlog^2n)O(nlog2n)

赛后和杨大佬讨论之后发现了另一个思路，对于一个位置 iii 来说，合并带来最直接的影响就是将 i−1i-1i−1、iii、以及 i+1i+1i+1 视为了一个整体，之后的操作实质上也完全可以视为一个整体了。所以我们不妨对于任意一个位置 iii 来说，只关注其两个状态：

与位置 i−1i-1i−1 合并之前，每次需要花费一次操作
与位置 i−1i-1i−1 合并之后，每次借助 i−1i-1i−1 操作即可，无需额外的花费

如何实现呢？因为每个数字下降为 111 的过程必定会产生一个序列，我们只需要关注 i−1i-1i−1 的序列和 iii 的序列，最长公共后缀的长度就好了，妙啊

时间复杂度还是 O(nlog2n)O(nlog^2n)O(nlog2n)

代码：
双向链表+堆

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e6+100;
int nt[N],pre[N],n;
LL a[N];
bool ban[N];
void del(int x) {ban[x]=true;nt[pre[x]]=nt[x];pre[nt[x]]=pre[x];
}
LL cal(LL x) {return sqrt(x/2+1);
}
void init() {pre[0]=0;nt[n+1]=n+1;for(int i=1;i<=n;i++) {nt[i]=i+1;pre[i]=i-1;}
}
int main() {cin>>n;init();for(int i=1;i<=n;i++) {scanf("%lld",a+i);}priority_queue<pair<LL,int>>q;for(int i=1;i<=n;i++) {if(a[i]==a[i-1]) {del(i);} else {q.push({a[i],i});}}int ans=0;while((int)q.size()>1) {int pos=q.top().second;q.pop();if(ban[pos]) {continue;}if(a[pos]==1) {continue;}ans++;a[pos]=cal(a[pos]);if(a[pos]==a[pre[pos]]) {del(pre[pos]);}if(a[pos]==a[nt[pos]]) {del(nt[pos]);}q.push({a[pos],pos});}cout<<ans<<endl;return 0;
}

思维

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e6+100;
vector<LL>node[N];
int main() {int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) {LL x;scanf("%lld",&x);while(x>1) {node[i].push_back(x);x=sqrt(x/2+1);}reverse(node[i].begin(),node[i].end());}int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++) {int len=(int)min(node[i].size(),node[i-1].size());for(int j=0;j<len;j++) {if(node[i][j]!=node[i-1][j]) {len=j;break;}}ans+=(int)node[i].size()-len;}cout<<ans<<endl;return 0;
}

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