域、有限域

假设FFF是一个非空集合，在FFF上定义了加法(+)与乘法(×\times×)，且满足下面的性质：

Commutative: ∀a,b∈F\forall a,b \in F∀a,b∈F, a+b=b+aa+b=b+aa+b=b+a
Associative: ∀a,b,c∈F\forall a,b,c \in F∀a,b,c∈F, a+(b+c)=(a+b)+ca+(b+c)=(a+b)+ca+(b+c)=(a+b)+c
Distribute: ∀a,b,c∈F\forall a,b,c \in F∀a,b,c∈F, a×(b+c)=a×b+a×ca\times(b+c) = a\times b + a\times ca×(b+c)=a×b+a×c
Zero: 0∈F0 \in F0∈F, ∀a∈F\forall a \in F∀a∈F, a+0=aa+0=aa+0=a
One: 1∈F1 \in F1∈F, ∀a∈F\forall a \in F∀a∈F, a×1=1×a=aa \times 1 = 1 \times a =aa×1=1×a=a
Additive Inverse: ∀a∈F\forall a \in F∀a∈F, ∃!−a∈F\exists ! -a \in F∃!−a∈F,a+(−a)=0a+(-a)=0a+(−a)=0
Multiplicative Inverse: ∀a∈F∖{0}\forall a \in F\setminus \{0\}∀a∈F∖{0}, ∃!a−1∈F\exists ! a^{-1} \in F∃!a−1∈F,a×a−1=a−1×a=1a \times a^{-1} = a^{-1} \times a=1a×a−1=a−1×a=1

如果∣F∣<∞|F| < \infty∣F∣<∞，称FFF为有限域。

例1 R,C,Q\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{Q}R,C,Q都是域。Z\mathbb{Z}Z不是域。

例2 Galois域GF(p)GF(p)GF(p)是有限域，其中
GF(p)={1,2,⋯,p−1},pisaprimenumberGF(p) = \{1,2,\cdots,p-1\},p\ is\ a\ prime\ numberGF(p)={1,2,⋯,p−1},p is a prime number
∀a,b∈GF(p)\forall a,b \in GF(p)∀a,b∈GF(p)，加法被定义为a+b=(a+b)modpa+b = (a+b)\mod pa+b=(a+b)modp乘法被定义为a×b=abmodpa \times b = ab \mod pa×b=abmodp

有限域上的多项式的四则运算

考虑两个多项式：
f(x)=∑i=0maixi,g(x)=∑j=0lbjxj,ai,bj∈GF(p)f(x) = \sum_{i=0}^m a_i x^i,g(x)=\sum_{j=0}^l b_jx^j,a_i,b_j \in GF(p)f(x)=i=0∑maixi,g(x)=j=0∑lbjxj,ai,bj∈GF(p)
下面考虑这种多项式的运算：

例3 考虑GF(7)GF(7)GF(7)上的两个多项式
f(x)=5x2+4x+6,g(x)=2x+1f(x)=5x^2 + 4x +6,g(x) = 2x+1f(x)=5x2+4x+6,g(x)=2x+1
则
f(x)+g(x)=(5x2+6x+7)mod7=5x2+6xf(x)−g(x)=(5x2+(4−2)x+(6−1))mod7=5x2+2x+5f(x) + g(x) = (5x^2 + 6x + 7) \mod 7 = 5x^2 + 6x \\ f(x)-g(x) = (5x^2 + (4-2)x + (6-1)) \mod 7 = 5x^2 + 2x + 5f(x)+g(x)=(5x2+6x+7)mod7=5x2+6xf(x)−g(x)=(5x2+(4−2)x+(6−1))mod7=5x2+2x+5
其中需要注意的是4−2=(4−2)mod7=4+(−2)mod7=4+5mod7=26−1=(6−1)mod7=6+(−1)mod7=6+6mod7=54-2 = (4-2) \mod 7 = 4+(-2) \mod 7 = 4 + 5 \mod 7 = 2 \\ 6-1= (6-1) \mod 7 = 6 + (-1) \mod 7 = 6 + 6 \mod 7 = 54−2=(4−2)mod7=4+(−2)mod7=4+5mod7=26−1=(6−1)mod7=6+(−1)mod7=6+6mod7=5
正好和我们熟悉的加减法一样是因为被减数、减数和差正好都在GF(7)GF(7)GF(7)中，如果不在GF(7)GF(7)GF(7)中就要按这种方式计算一下。下面的计算就省略mod7\mod 7mod7了：
f(x)g(x)=(5x2+4x+6)(2x+1)=3x3+x2+5x+5x2+4x+6=3x3+6x2+2x+6f(x)g(x) = (5x^2 + 4x + 6)(2x + 1) \\= 3x^3 + x^2 + 5x + 5x^2 + 4x + 6 = 3x^3 + 6x^2 + 2x + 6f(x)g(x)=(5x2+4x+6)(2x+1)=3x3+x2+5x+5x2+4x+6=3x3+6x2+2x+6
最后考虑一下除法：
f(x)g(x)=5x2+4x+62x+1=6x+6\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{5x^2 + 4x + 6}{2x +1} = 6x+6g(x)f(x)=2x+15x2+4x+6=6x+6
这个可以用长除法(Long-division)来做，

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