4kyu Domino Tiling - 3 x N Board

题目背景：

A domino is a rectangular block with 2 units wide and 1 unit high. A domino can be placed on a grid in two ways: horizontal or vertical.

## or ##

You have infinitely many dominoes, and you want to fill a board that is N units wide and 3 units high:

<---   N   --->
###############
###############
###############

The task is to find the number of ways you can fill the given grid with dominoes.

The Twist
But you quickly realize that the answer is zero for any odd N, because (obviously) you can’t cover odd number of cells with dominoes! So you decide to introduce one unit block (1 unit wide and 1 unit high) to cover the final gap when needed (you don’t need this block when N is even).

The following shows some possible tilings for N = 5. Note that, unlike my previous Kata, the numbers do not represent the colors (they are just for convenience). Also note that the unit block (marked as ‘X’) can be placed anywhere on the board, making the answers for odd numbers way higher than even ones.

11255   1122X   14456
3X267   33447   13356
34467   55667   22X77

Since the answer will be very large, please give your answer modulo 12345787.

题目分析：

多米诺 2 * 1 拼图问题其实是一个很经典的递归问题，本道题可以说是常见的多米诺问题中最难的一种，虽然只是递归问题，不过题目本身的分析难度仍旧相当大，接下来我将从最简单的情况起步慢慢地分析：

情景一

首先分析最简单的情况，即N * 2的情况：

<---   N   --->
###############
###############

如图可以找到递归关系，即 An = An-1 + An-2，也就是大名鼎鼎的斐波那契数列，初始化 A0 = A1 = 1，由此便可以轻易地码出代码。

情景二

N只是偶数，高度为3的情况。
关于N只是偶数的情况在Geeksforgeeks有详细的解答，此处我就直接盗图orz。从最终的状态分析，最后一列上呈现的状况只可能是如下三种状态：

而如下两种情况不可能出现在最后一列中：于是可以有：那么得到第一步的递推关系： An = An-2 + Bn-1 + Cn-1，因为Bn 和 Cn其实本质上是镜面对称的，所以可以说Bn-1 = Cn-1，则有 An = An-2 + 2 * Bn-1，再分析Bn：得到Bn的递推关系是：Bn = An-1 + Bn-2。于是最终的递推关系是：

An = An-2 + 2 * Bn-1
Bn = An-1 + Bn-2

初始情况是：

A0 = 1, A1 = 0
B0 = 0, B1 = 1

据此可以码出最终的代码。

情景三

N既可能是偶数有可能是奇数，同时高度为3，即本题中的情况：
首先依据情景二中的情况分析，当N为偶数时，从偶数下标开始递推的话，有： A偶 = A偶 + B奇； B奇 = A偶 + B奇，可以发现对于N为偶数的情况时，递推关系是沿着A偶及 B奇的方向递推的，所以我们此时应该分析的是A奇和B偶的情况：

当A奇时，说明1 * 1 的方块还没使用，所以说可以考虑到1 * 1的方块使用情况分析：

即 An = Bn + Cn + An-2 + Bn-1 + Cn-1，从此处就可以发现，当Bn、Cn的下标为奇时，说明1*1的方块已经使用了，所以我们需要考虑的是B偶的情况：

当B偶时：

即 Bn = An-1 + An-2 + Cn-1 + Bn-2 这样得到的最后的递推公式：

1. n为偶时：
An = An-2 + 2 * Bn-1
Bn = An-1 + An-2 + Bn-1 + Bn-2
2. n为奇时：
An = An-2 + 2 * Bn + 2 * Bn-1
Bn = An-1 + Bn-2

初始情况是：

A0 = 1, A1 = 2
B0 = 0, B1 = 1

AC代码：

# segment the pics and find the law
def countWays(n): A = [0] * (n + 1) B = [0] * (n + 1) A[0] = 1A[1] = 2B[0] = 0B[1] = 1for i in range(2, n + 1): if (i % 2):B[i] = (A[i - 1] + B[i - 2]) % 12345787A[i] = (A[i - 2] + 2 * B[i] + 2 * B[i - 1]) % 12345787else:A[i] = (A[i - 2] + 2 * B[i - 1]) % 12345787B[i] = (A[i - 1] + A[i - 2] + B[i - 1] + B[i - 2]) % 12345787return A[n]def three_by_n(n):return countWays(n)

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