一、B树 (二叉搜索树)

B 树可以看作是对2-3查找树的一种扩展，即他允许每个节点有M-1个子节点。

• 根节点至少有两个子节点
• 每个节点有M-1个key，并且以升序排列
• 位于M-1和M key的子节点的值位于M-1 和M key对应的Value之间
• 其它节点至少有M/2个子节点

1.所有非叶子结点至多拥有两个儿子（Left和Right）；

2.所有结点存储一个关键字；

3.非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树；

如：

B树的搜索，从根结点开始，如果查询的关键字与结点的关键字相等，那么就命中；

否则，如果查询关键字比结点关键字小，就进入左儿子；如果比结点关键字大，就进入

右儿子；如果左儿子或右儿子的指针为空，则报告找不到相应的关键字；

如果B树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多（平衡），那么B树

的搜索性能逼近二分查找；但它比连续内存空间的二分查找的优点是，改变B树结构

（插入与删除结点）不需要移动大段的内存数据，甚至通常是常数开销；

如：

但B树在经过多次插入与删除后，有可能导致不同的结构：

右边也是一个B树，但它的搜索性能已经是线性的了；同样的关键字集合有可能导致不同的

树结构索引；所以，使用B树还要考虑尽可能让B树保持左图的结构，和避免右图的结构，也就是所谓的“平衡”问题；

实际使用的B树都是在原B树的基础上加上平衡算法，即“平衡二叉树”；如何保持B树

结点分布均匀的平衡算法是平衡二叉树的关键；平衡算法是一种在B树中插入和删除结点的

策略；

下图是一个M=4 阶的B树:

可以看到B树是2-3树的一种扩展，他允许一个节点有多于2个的元素。

B树的插入及平衡化操作和2-3树很相似，这里就不介绍了。

二、B-树

(1)B-树是一种平衡的多路查找树，它在文件系统中很有用（原因之前已经介绍了）。B-树的结构有如下的特点：
一棵度为m的B-树称为m阶B-树。一个结点有k个孩子时，必有k-1个关键字才能将子树中所有关键字划分
为k个子集。B-树中所有结点的孩子结点最大值称为B-树的阶，通常用m表示。从查找效率考虑，一般要求
m≥3。一棵m阶的B-树或者是一棵空树，或者是满足下列要求的m叉树：**

• 树中的每个结点至多有m颗子树。
• 若根结点不是叶子结点，则至少有两颗子树。
• 除根结点外，所有非终端结点至少有[ m/2 ] ( 向上取整 )颗子树。
• 所有的非终端结点中包括如下信息的数据

（n,A0,K1,A1,K2,A2,….,Kn,An）
其中：Ki（i=1,2,…,n）为关键码，且Ki < K(i+1)，

Ai 为指向子树根结点的指针(i=0,1,…,n)，且指针A(i-1) 所指子树中所有结点的关键码均小于Ki (i=1,2,…,n)，An 所指子树中所有结点的关键码均大于Kn.

n 为关键码的个数。

• 所有的叶子结点都出现在同一层次上，并且不带信息（可以看作是外部结点或查找失败的结点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针为空）。

(2)B-树的基本操作–查找介绍

我们先给出如下的一个4阶的B-树结构。

如上图所示，这是我们的一个4阶的B-树，现在假设我们需要查找45这个数是否在B-树中。

1. 从根节点出发，发现根节点a有1个关键字为35，其中45>35，往右子树走，进入节点c
2. 发现结点c有2个关键字，其中其中43<45<78,所以进入结点g。
3. 发现结点g有3个关键字，其中3<45<47,所以继续往下走，发现进入了结束符结点：F，所以45不在B-树中

OK，我们从上述的查找的过程可以得出，在B-树的查找过程为：

1. 在B- 树中查找结点
2. 在结点中查找关键字。

由于B- 树通常存储在磁盘上， 则前一查找操作是在磁盘上进行的， 而后一查找操作是在内存中进行的， 即
在磁盘上找到指针p 所指结点后， 先将结点中的信息读入内存， 然后再利用顺序查找或折半查找查询等于K
的关键字。显然， 在磁盘上进行一次查找比在内存中进行一次查找的时间消耗多得多.
因此， 在磁盘上进行查找的次数、即待查找关键字所在结点在B- 树上的层次树， 是决定B树查找效率的首要
因素，对于有n个关键字的m阶B-树，从根结点到关键字所在结点的路径上路过的结点数不超过：

(3)B-树的插入

其实B-树的插入是很简单的，它主要是分为如下的两个步骤：

1. 使用之前介绍的查找算法查找出关键字的插入位置，如果我们在B-树中查找到了关键字，则直接返回。否则它一定会失败在某个最底层的终端结点上。
2. 然后，我就需要判断那个终端结点上的关键字数量是否满足：n<=m-1,如果满足的话，就直接在该终端结点上添加一个关键字，否则我们就需要产生结点的“分裂”。
3. 分裂的方法是：生成一新结点。把原结点上的关键字和k（需要插入的值）按升序排序后，从中间位置把关键字（不包括中间位置的关键字）分成两部分。左部分所含关键字放在旧结点中，右部分所含关键字放在新结点中，中间位置的关键字连同新结点的存储位置插入到父结点中。如果父结点的关键字个数也超过（m-1），则要再分裂，再往上插。直至这个过程传到根结点为止。

下面我们来举例说明，首先假设这个B-树的阶为：3。树的初始化时如下：

首先，我需要插入一个关键字：30，可以得到如下的结果：

再插入26，得到如下的结果：

OK，此时如图所示，在插入的那个终端结点中，它的关键字数已经超过了m-1=2，所以我们需要对结点进分裂，所以我们先对关键字排序，得到：26 30 37 ，所以它的左部分为（不包括中间值）：26，中间值为：30，右部为：37，左部放在原来的结点，右部放入新的结点，而中间值则插入到父结点，并且父结点会产生一个新的指针，指向新的结点的位置，如下图所示：

OK，然后我们继续插入新的关键字：85，得到如下图结果：

正如图所示，我需要对刚才插入的那个结点进行“分裂”操作，操作方式和之前的一样，得到的结果如下：

哦，当我们分裂完后，突然发现之前的那个结点的父亲结点的度为4了，说明它的关键字数超过了m-1，所以需要对其父结点进行“分裂”操作，得到如下的结果：

好，我们继续插入一个新的关键字：7，得到如下结果：

同样，需要对新的结点进行分裂操作，得到如下的结果：

到了这里，我就需要继续对我们的父亲结点进行分裂操作，因为它的关键字数超过了：m-1.

哦，终于遇到这种情况了，我们的根结点出现了关键子数量超过m-1的情况了，这个时候我们需要对父亲结点进行分列操作，但是根结点没父亲啊，所以我们需要重新创建根结点了。

好了，到了这里我们也知道怎么进行B-树的插入操作。

()B-树的删除操作

B-树的删除操作同样是分为两个步骤：

1. 利用前述的B-树的查找算法找出该关键字所在的结点。然后根据 k（需要删除的关键字）所在结点是否为叶子结点有不同的处理方法。如果没有找到，则直接返回。
2. 若该结点为非叶结点，且被删关键字为该结点中第i个关键字key[i]，则可从指针son[i]所指的子树中找出最小关键字Y，代替key[i]的位置，然后在叶结点中删去Y。

如果是叶子结点的话，需要分为下面三种情况进行删除。

• 如果被删关键字所在结点的原关键字个数n>=[m/2] ( 上取整），说明删去该关键字后该结点仍满足B-树的定义。这种情况最为简单，只需删除对应的关键字：k和指针：A 即可。
• 如果被删关键字所在结点的关键字个数n等于( 上取整）[ m/2 ]-1，说明删去该关键字后该结点将不满足B-树的定义，需要调整。

调整过程为：如果其左右兄弟结点中有“多余”的关键字,即与该结点相邻的右兄弟(或左兄弟)结点中的关键字数目大于( 上取整）[m/2]-1。则可将右兄弟(或左兄弟)结点中最小关键字(或最大的关键字)上移至双亲结点。而将双亲结点中小（大）于该上移关键字的关键字下移至被删关键字所在结点中。

• 被删关键字所在结点和其相邻的兄弟结点中的关键字数目均等于（上取整）[m/2]-1。假设该结点有右兄弟，且其右兄弟结点地址由双亲结点中的指针Ai所指，则在删去关键字之后，它所在结点中剩余的关键字和指针，加上双亲结点中的关键字Ki一起，合并到 Ai所指兄弟结点中(若没有右兄弟，则合并至左兄弟结点中)。

下面，我们给出删除叶子结点的三种情况：

第一种：关键字的数不小于（上取整）[m/2]，如下图删除关键字：12

删除12后的结果如下，只是简单的删除关键字12和其对应的指针。

第二种：关键字个数n等于( 上取整）[ m/2 ]-1，而且该结点相邻的右兄弟(或左兄弟)结点中的关键字数目大于( 上取整）[m/2]-1。

如上图，所示，我们需要删除50这个关键字，所以我们需要把50的右兄弟中最小的关键字：61上移到其父结点，然后替换小于61的关键字53的位置，53则放至50的结点中。然后，我们可以得到如下的结果：

第三种：关键字个数n等于( 上取整）[ m/2 ]-1，而且被删关键字所在结点和其相邻的兄弟结点中的关键字数目均等于（上取整）[m/2]-1

如上图所示，我们需要删除53，那么我们就要把53所在的结点其他关键字（这里没有其他关键字了）和父亲结点的61这个关键字一起合并到70这个关键字所占的结点。得到如下所示的结果：

Ok，我已经分别对上述的四种删除的情况都做了举例，大家如果还有什么不清楚的，可以看看代码，估计就可以明白了；

三、B+树

(1)B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树：

1.其定义基本与B-树同，除了：

2.非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；

3.非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树

（B-树是开区间）；

5.为所有叶子结点增加一个链指针；

6.所有关键字都在叶子结点出现；

如：（M=3）

B+的搜索与B-树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B-树可以在

非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；

B+的特性：

1.所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好

是有序的；

2.不可能在非叶子结点命中；

3.非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储

（关键字）数据的数据层；

4.更适合文件索引系统；

B*树是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；

B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3

（代替B+树的1/2）；

B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据

复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父

结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；

B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分

数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字

（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之

间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；

所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；

B+树是对B树的一种变形树，它与B树的差异在于：

• 有k个子结点的结点必然有k个关键码；
• 非叶结点仅具有索引作用，跟记录有关的信息均存放在叶结点中。
• 树的所有叶结点构成一个有序链表，可以按照关键码排序的次序遍历全部记录。

如下图，是一个B+树:

B和B+树的区别在于，B+树的非叶子结点只包含导航信息，不包含实际的值，所有的叶子结点和相连的节点使用链表相连，便于区间查找和遍历。

B+ 树的优点在于：

• 由于B+树在内部节点上不包含数据信息，因此在内存页中能够存放更多的key。 数据存放的更加紧密，具有更好的空间局部性。因此访问叶子节点上关联的数据也具有更好的缓存命中率。
• B+树的叶子结点都是相链的，因此对整棵树的便利只需要一次线性遍历叶子结点即可。而且由于数据顺序排列并且相连，所以便于区间查找和搜索。而B树则需要进行每一层的递归遍历。相邻的元素可能在内存中不相邻，所以缓存命中性没有B+树好。

但是B树也有优点，其优点在于，由于B树的每一个节点都包含key和value，因此经常访问的元素可能离根节点更近，因此访问也更迅速。下面是B 树和B+树的区别图：

四、应用

B树和B+广泛应用于文件存储系统以及数据库系统中，在讲解应用之前，我们看一下常见的存储结构：

我们计算机的主存基本都是随机访问存储器(Random-Access Memory，RAM)，他分为两类：静态随机访问存储器（SRAM）和动态随机访问存储器（DRAM）。SRAM比DRAM快，但是也贵的多，一般作为CPU的高速缓存，DRAM通常作为内存。这类存储器他们的结构和存储原理比较复杂，基本是使用电信号来保存信息的，不存在机器操作，所以访问速度非常快，具体的访问原理可以查看CSAPP，另外，他们是易失的，即如果断电，保存DRAM和SRAM保存的信息就会丢失。

我们使用的更多的是使用磁盘，磁盘能够保存大量的数据，从GB一直到TB级，但是 他的读取速度比较慢，因为涉及到机器操作，读取速度为毫秒级，从DRAM读速度比从磁盘度快10万倍，从SRAM读速度比从磁盘读快100万倍。下面来看下磁盘的结构：

如上图，磁盘由盘片构成,每个盘片有两面，又称为盘面(Surface)，这些盘面覆盖有磁性材料。盘片中央有一个可以旋转的主轴(spindle)，他使得盘片以固定的旋转速率旋转，通常是5400转每分钟(Revolution Per Minute,RPM)或者是7200RPM。磁盘包含一个多多个这样的盘片并封装在一个密封的容器内。上图左，展示了一个典型的磁盘表面结构。每个表面是由一组成为磁道(track)的同心圆组成的，每个磁道被划分为了一组扇区(sector).每个扇区包含相等数量的数据位，通常是（512）子节。扇区之间由一些间隔(gap)隔开,不存储数据。

以上是磁盘的物理结构，现在来看下磁盘的读写操作：

如上图，磁盘用读/写头来读写存储在磁性表面的位，而读写头连接到一个传动臂的一端。通过沿着半径轴前后移动传动臂，驱动器可以将读写头定位到任何磁道上，这称之为寻道操作。一旦定位到磁道后，盘片转动，磁道上的每个位经过磁头时，读写磁头就可以感知到位的值，也可以修改值。对磁盘的访问时间分为 寻道时间，旋转时间，以及传送时间。

由于存储介质的特性，磁盘本身存取就比主存慢很多，再加上机械运动耗费，因此为了提高效率，要尽量减少磁盘I/O，减少读写操作。为了达到这个目的，磁盘往往不是严格按需读取，而是每次都会预读，即使只需要一个字节，磁盘也会从这个位置开始，顺序向后读取一定长度的数据放入内存。这样做的理论依据是计算机科学中著名的局部性原理：

当一个数据被用到时，其附近的数据也通常会马上被使用。

程序运行期间所需要的数据通常比较集中。

由于磁盘顺序读取的效率很高（不需要寻道时间，只需很少的旋转时间），因此对于具有局部性的程序来说，预读可以提高I/O效率。

预读的长度一般为页（page）的整倍数。页是计算机管理存储器的逻辑块，硬件及操作系统往往将主存和磁盘存储区分割为连续的大小相等的块，每个存储块称为一页（在许多操作系统中，页得大小通常为4k），主存和磁盘以页为单位交换数据。当程序要读取的数据不在主存中时，会触发一个缺页异常，此时系统会向磁盘发出读盘信号，磁盘会找到数据的起始位置并向后连续读取一页或几页载入内存中，然后异常返回，程序继续运行。

文件系统及数据库系统的设计者利用了磁盘预读原理，将一个节点的大小设为等于一个页，这样每个节点只需要一次I/O就可以完全载入。为了达到这个目的，在实际实现B-Tree还需要使用如下技巧：

每次新建一个节点的同时，直接申请一个页的空间( 512或者1024)，这样就保证一个节点物理上也存储在一个页里，加之计算机存储分配都是按页对齐的，就实现了一个node只需一次I/O。如，将B树的度M设置为1024，这样在前面的例子中，600亿个元素中只需要小于4次查找即可定位到某一存储位置。

同时在B+树中，内节点只存储导航用到的key，并不存储具体值，这样内节点个数较少，能够全部读取到主存中，外接点存储key及值，并且顺序排列，具有良好的空间局部性。所以B及B+树比较适合与文件系统的数据结构。下面是一颗B树，用来进行内容存储。

另外B/B+树也经常用做数据库的索引，这方面推荐您直接看张洋的MySQL索引背后的数据结构及算法原理 这篇文章，这篇文章对MySQL中的如何使用B+树进行索引有比较详细的介绍，推荐阅读。

五、小结

B树：二叉树，每个结点只存储一个关键字，等于则命中，小于走左结点，大于

走右结点；

B-树：多路搜索树，每个结点存储M/2到M个关键字，非叶子结点存储指向关键

字范围的子结点；

所有关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中；

B+树：在B-树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点

中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；B+树总是到叶子结点才命中；

B*树：在B+树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率

从1/2提高到2/3；

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