■ 前言

元器件的谐振特性

使用 使用AD5933测量电子器件复阻抗 测量元器件的谐振特性。这里记录了一些相应的的电子实验的数据。以备之后进行复习和参考。

01测量电路

在 使用AD5933测量电子器件复阻抗 中给出了直接测量一些元器件（电阻、电容）的结果。为了扩大测量器件特性的范围，特别是对于一些超过直接测量范围（比如阻抗比较小的扬声器，甚至一些实际的动态系统），使用了 基于运放AD8606的信号缓冲小板 对一些器件的激励信号进行缓冲，然后再通过一个固定的电阻（100kΩ）输入到AD5933的Vin输入端口。

^{▲ 测试电路}

这里需要指出的是：

输入到AD5933的隔直电容C1C_1C1必须加上。否则就会引起AD5933饱和。或者工作不正常。

^{▲ 实验板上的OPA缓冲电路}

02测量电路和计算公式

1. 测量电路与数据

在面包板上，将AD5933模块的Vin，Vout的接口以及相应的分压电阻和AD8606缓冲电路组成一下的实验电路。首先使用R1,R2R_1 ,R_2R1,R2组成分压电路，并测量校准的数据。然后将R2R_2R2更换成需要测量的元器件，得到测量的数据。然后在根据校准的数据计算出待测量元器件的阻抗和相角。

^{▲ 测量实验电路基本结构}

假设在某一频率f1f_1f1下，使用电阻所获得的校正测量数据的实部和虚部为：Rc,IcR_c ,I_cRc,Ic。那么对应的幅度和相角为：Ac=Rc2+Ic2,θc=arctan⁡2(Ic,Rc)A_c = \sqrt {R_c^2 + I_c^2 } ,\,\,\,\,\theta _c = \arctan 2\left( {I_c ,R_c } \right)Ac=Rc2+Ic2,θc=arctan2(Ic,Rc)

将待测元器件更换之后，所测量得到的数据实部和虚部为：Rm,ImR_m ,I_mRm,Im。

为了后面方便计算和推导，假设在进行校正环节中，所使用的R1,R2R_1 ,R_2R1,R2相同，都等于RRR。通常选择RRR的大小与待测元器件的阻抗在相同的数量级。

2.第一种求解公式推导

假设AD5933的Vout输出的电压可以使用复矢量：U˙out=UR+jUI\dot U_{out} = U_R + jU_IU˙out=UR+jUI表示。那么当R1=R2=RR_1 = R_2 = RR1=R2=R时，U˙out=2Rc+2jIc\dot U_{out} = 2R_c + 2jI_cU˙out=2Rc+2jIc。

当R2R_2R2替换成被测元器件（Rm+jImR_m + jI_mRm+jIm）后，测量的结果为：
U˙out⋅Rt+jItR+Rt+jIt=(2Rc+2jIc)(Rt+jIt)R+Rt+jIt=Rm+jIm\dot U_{out} \cdot {{R_t + jI_t } \over {R + R_t + jI_t }} = {{\left( {2R_c + 2jI_c } \right)\left( {R_t + jI_t } \right)} \over {R + R_t + jI_t }} = R_m + jI_mU˙out⋅R+Rt+jItRt+jIt=R+Rt+jIt(2Rc+2jIc)(Rt+jIt)=Rm+jIm

对上面公式的分子进行化简：

为了便于推导求解Rt,ItR_t ,I_tRt,It的公式，下面做些表达式替换：
a=Rc,b=Ic,c=Rm,d=Im,x=Rt,y=Ita = R_c ,b = I_c ,c = R_m ,d = I_m ,x = R_t ,y = I_ta=Rc,b=Ic,c=Rm,d=Im,x=Rt,y=It

则上面的表达式就变成：

2(a+jb)(x+jy)R+x+jy=c+jd{{2\left( {a + jb} \right)\left( {x + jy} \right)} \over {R + x + jy}} = c + jdR+x+jy2(a+jb)(x+jy)=c+jd

那么：

根据上面方程，可以得到如下关于x,yx,yx,y的二元非线性方程组：

经过化简可以得到如下关于x,yx,yx,y的二元二次方程组：
(2a−c)x2+(2a−c)y2+(2Ra−2Rc)x−2Rby−R2c=0\left( {2a - c} \right)x^2 + \left( {2a - c} \right)y^2 + \left( {2Ra - 2Rc} \right)x - 2Rby - R^2 c = 0(2a−c)x2+(2a−c)y2+(2Ra−2Rc)x−2Rby−R2c=0

(2b−d)x2+(2b−d)y2+(2Rb−2Rd)x+2Ray−R2d=0\left( {2b - d} \right)x^2 + \left( {2b - d} \right)y^2 + \left( {2Rb - 2Rd} \right)x + 2Ray - R^2 d = 0(2b−d)x2+(2b−d)y2+(2Rb−2Rd)x+2Ray−R2d=0

求解上述方程组会遇到麻烦。下面通过直角坐标系和极坐标系相结合的方式求解测量阻抗。

3.第二种公式推导过程

在假设R1=R2=RR_1 = R_2 = RR1=R2=R的条件下，可以知道Vin的可以表示成：UˉIN∠θIN=2UˉC∠θC\bar U_{IN} \angle \theta _{IN} = 2\bar U_C \angle \theta _CUˉIN∠θIN=2UˉC∠θC

那么测量元器件的结果假设为：Uˉm∠θm=Rm+i⋅Im\bar U_m \angle \theta _m = R_m + i \cdot I_mUˉm∠θm=Rm+i⋅Im。那么待测与器件的复阻抗为：Rt+iItR_t + iI_tRt+iIt，则有：

Rt+i⋅ItR+Rt+i⋅It⋅UˉIN∠θIN=Uˉm∠θm{{R_t + i \cdot I_t } \over {R + R_t + i \cdot I_t }} \cdot \bar U_{IN} \angle \theta _{IN} = \bar U_m \angle \theta _mR+Rt+i⋅ItRt+i⋅It⋅UˉIN∠θIN=Uˉm∠θm

因此：

Rt+i⋅ItR+Rt+i⋅It=UˉmUˉIN∠(θm−θIN)=Uˉ0∠θ0=R0+jI0{{R_t + i \cdot I_t } \over {R + R_t + i \cdot I_t }} = {{\bar U_m } \over {\bar U_{IN} }}\angle \left( {\theta _m - \theta _{IN} } \right) = \bar U_0 \angle \theta _0 = R_0 + jI_0R+Rt+i⋅ItRt+i⋅It=UˉINUˉm∠(θm−θIN)=Uˉ0∠θ0=R0+jI0

假设：x=Rt,y=It,a=R0,b=I0x = R_t ,y = I_t ,a = R_0 ,b = I_0x=Rt,y=It,a=R0,b=I0，那么可以得到如下二元二次方程组：

x(R+x)y2+(R+x)2+y2y2+(R+x)2=a{{x\left( {R + x} \right)} \over {y^2 + \left( {R + x} \right)^2 }} + {{y^2 } \over {y^2 + \left( {R + x} \right)^2 }} = ay2+(R+x)2x(R+x)+y2+(R+x)2y2=a−xyy2+(R+x)2+y(R+x)y2+(R+x)2=b- {{xy} \over {y^2 + \left( {R + x} \right)^2 }} + {{y\left( {R + x} \right)} \over {y^2 + \left( {R + x} \right)^2 }} = b−y2+(R+x)2xy+y2+(R+x)2y(R+x)=b

4.使用复数简化推导

假设被测元器件的复阻抗为x˙=xr+jxi\dot x = x_r + jx_ix˙=xr+jxi。记a˙=R0+jI0\dot a = R_0 + jI_0a˙=R0+jI0，那么：
xR+x=a{x \over {R + x}} = aR+xx=a

求解可以得到：
x={({−Raa−1}∖{−R})}x = \left\{ {\left( {\left\{ { - {{Ra} \over {a - 1}}} \right\} \setminus \left\{ { - R} \right\}} \right)} \right\}x={({−a−1Ra}∖{−R})}

将其中的aaa带回a˙=m+jn\dot a = m + jna˙=m+jn，那么被测复阻抗为：

x˙=−Rm(m−1)n2+(m−1)2−Rn2n2+(m−1)2+i(Rmnn2+(m−1)2−Rn(m−1)n2+(m−1)2)\dot x = - {{Rm\left( {m - 1} \right)} \over {n^2 + \left( {m - 1} \right)^2 }} - {{Rn^2 } \over {n^2 + \left( {m - 1} \right)^2 }} + i\left( {{{Rmn} \over {n^2 + \left( {m - 1} \right)^2 }} - {{Rn\left( {m - 1} \right)} \over {n^2 + \left( {m - 1} \right)^2 }}} \right)x˙=−n2+(m−1)2Rm(m−1)−n2+(m−1)2Rn2+i(n2+(m−1)2Rmn−n2+(m−1)2Rn(m−1))

#!/usr/local/bin/python
# -*- coding: gbk -*-
#============================================================
# TEST1.PY                     -- by Dr. ZhuoQing 2020-06-28
#
# Note:
#============================================================
from headm import *
from sympy                  import print_latex,abc,symbols,expand,I,re,im
from sympy                  import solveset,cos,sin,nonlinsolve
R,m,n = symbols('R, m, n', real=True)
x,a = symbols('x, a', complex=True)
a = m+I*n
#res = nonlinsolve([x/(R+x)-a], x)
expr = -R * a / (a-1)
print_latex(re(expr) + I * im(expr))
tspexecutepythoncmd('msg2latex')
#------------------------------------------------------------
#        END OF FILE : TEST1.PY
#============================================================

03一些测量结果

1.测量压电陶瓷扬声器

^{▲ 电阻10k测量结果}

^{▲ 小型压电陶瓷发声片}

^{▲ 带有谐振腔的压电陶瓷发生器}

2.扬声器

^{▲ 电阻22欧姆测量数据}

^{▲ 微型扬声器3Ω}

^{▲ 小型扬声器8Ω}

^{▲ 中型扬声器4欧姆}

^{▲ 低音扬声器8欧姆}

LC电路：

L=10mH,C=2.2nFL = 10mH,\,\,\,C = 2.2nFL=10mH,C=2.2nF

谐振频率：
f0=12πLC=12π10×10−3×2.2×10−9=33.9kHzf_0 = {1 \over {2\pi \sqrt {LC} }} = {1 \over {2\pi \sqrt {10 \times 10^{ - 3} \times 2.2 \times 10^{ - 9} } }} = 33.9kHzf0=2πLC1=2π10×10−3×2.2×10−91=33.9kHz

^{▲ LC串联谐振电路}

^{▲ 时钟晶体（32765）测量数据}

※ 结论

观察到了一些典型元器件的复阻抗的测量结果。

将实际计算的过程，出现了求解困难的问题。这个问题还是留在其它时候进行求解。

补充： 在博文 AD5933阻抗模块测量值校正 给出了求解的方式。

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