来自：小浩算法

01

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中位数

这道题是非常好的一道题目，也是前面100道里最难的题目之一，相当经典！

第4题：给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。

请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。

你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。

示例 1:

nums1 = [1, 3]

nums2 = [2]

则中位数是 2.0

示例 2:

nums1 = [1, 2]

nums2 = [3, 4]

则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

（瞪一瞪就全部掌握）

02

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题目分析

中位数（Median）又称中值，统计学中的专有名词，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，代表一个样本、种群或概率分布中的一个数值，其可将数值集合划分为相等的上下两部分。对于有限的数集，可以通过把所有观察值高低排序后找出正中间的一个作为中位数。如果观察值有偶数个，通常取最中间的两个数值的平均数作为中位数。

题意还是比较简单的，没有什么需要额外补充。当然可以直接暴力求解，因为都是有序数组，直接进行合并，再对合并后的数组通过判断是否是偶数个，求出中位数。但是由于这种方法肯定是达不到O(log(n))的，所以我们直接略过。如果是为了练习code能力的小伙伴，下去可以自行试试。

那如何保证时间复杂度在O(log(n))呢？这里有一个小技巧，一般如果题目要求时间复杂度在O(log(n))，大部分都是可以使用二分的思想来进行求解。当然，本题的二分是有一点反直觉的，可能不是很容易想到，一起看下。

首先，我们考虑一个问题，如果只有一个有序数组，我们需要找中位数，那肯定需要判断元素是奇数个还是偶数个，如果是奇数个那最中间的就是中位数，如果是偶数个的话，那就是最中间两个数的和除以2。

那如果是两个数组，也是一样的，我们先求出两个数组长度之和。如果为奇数，就找中间的那个数，也就是 (长度之和+1)/2 。如果为偶数，那就找 长度之和/2。比如下面的 (9+5)/2 = 7，那我们最终就是找到排列第7位的值。此时，问题其实已经转化为“找到两个数组中第k小的元素”。找到了第7位之后，第8位我们已经知道了，然后第7位和第8位的和，除以2就是我们要找的中位数（注意：这里的7和8你其实是不知道的，图中画出来，只是为了帮助理解）

现在的问题是，我们如何用二分的思想来找到中间排列第7位的数。这里有一种不太好想到的方式，是用删的方式，因为如果我们可以把多余的数排除掉，最终剩下的那个数，是不是就是我们要找的数？对于上面的数组，我们可以先删掉 7/2=3 个数。那这里，可以选择删上面的，也可以选择删下面的。那这里因为 i<j，所以我们选择删除上面的3个数。

（删除前）

（删除后）

由于我们已经排除掉了 3 个数字，现在对于两个数组，我们需要找到7-3=4的数字，来进行下一步运算。我们可以继续删掉4/2=2个数。我们比较i和j的值，删除小的一边。

（删除前）

（删除后）

继续上面的步骤，我们删除 2/2=1 个数。同理，比较7和6的大小，删除小的一边。删完后是下面这样：

（7和6，删除6）

不要忘记我们的目的，我们是为了找第7小的数。此时，两个数组的第一个元素，哪个小，就是我们要找的那个数。因为7<8，所以7就是我们要找的第7小的数。

这里有一点比较特殊的，如果在删除过程中，我们要删除的K/2个数，大于其中一边的数组长度，那我们就将小的一侧数组元素都删除。比如下面这个，此时7/2=3，但是下面的数组只有2个元素，我们就将它全部删除。

删完之后，此时因为只删除了2个元素，所以k变成了5。那我们只需要返回其中一边的第5个元素就ok。

整个上面的过程，完成了本题的算法架构！

03

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证明过程

今天的题目有一定难度，但是并不是没办法攻克！最重要的还是三点：

• 从整体把握整个问题的算法基础，想明白是如何从找中位数，转化成找“两个有序数组第k大的元素”

• 能理解折半“删除”元素的过程，将问题转化为二分

• 独立的思考+一点点的努力

根据分析，完成代码：

 1//JAVA2class Solution {3    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {4        int len1 = nums1.length;5        int len2 = nums2.length;6        int total = len1 + len2;7        int left = (total + 1) / 2;8        int right = (total + 2) / 2;9        return (findK(nums1, 0, nums2, 0, left) + findK(nums1, 0, nums2, 0, right)) / 2.0;
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11    }
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13    //找到两个数组中第k小的元素
14    public int findK(int[] nums1, int i, int[] nums2, int j, int k) {
15        if (i >= nums1.length)
16            return nums2[j + k - 1];
17        if (j >= nums2.length)
18            return nums1[i + k - 1];
19        if (k == 1) {
20            return Math.min(nums1[i], nums2[j]);
21        }
22        //计算出每次要比较的两个数的值，来决定 "删除"" 哪边的元素
23        int mid1 = (i + k / 2 - 1) < nums1.length ? nums1[i + k / 2 - 1] : Integer.MAX_VALUE;
24        int mid2 = (j + k / 2 - 1) < nums2.length ? nums2[j + k / 2 - 1] : Integer.MAX_VALUE;
25        //通过递归的方式，来模拟删除掉前K/2个元素
26        if (mid1 < mid2) {
27            return findK(nums1, i + k / 2, nums2, j, k - k / 2);
28        }
29        return findK(nums1, i, nums2, j + k / 2, k - k / 2);
30    }
31}

郑重申明（读我的文章必看）：

• 本系列所有教程都不会用到复杂的语言特性，不需要担心没有学过相关语法，使用啥语言纯属本人翻牌子心情。

• 作为学术文章，虽然风格可以风趣，但严谨，我是认真的。本文所有代码均在leetcode上进行过测试运行。

• 算法思想才是最重要的。

今天的题目可能有一定难度，建议大家自己写写画画，才能真正的做到理解和巩固。另外，我打算后面出一个二分法的系列主题，尽我之力，帮大家攻克二分类的题目。希望得到支持！（怎么支持？帮我转发就ok）

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