【学时总结】◆学时·VIII◆ 树形DP
◆学时·VIII◆ 树形DP
DP像猴子一样爬上了树……QwQ
◇ 算法概述
基于树的模型，由于树上没有环，满足DP的无后效性，可以充分发挥其强大统计以及计算答案的能力。
一般来说树形DP的状态定义有三种：偏简单的，dp[u]表示以u为根的子树的最优解/方案数；带选择性质的：dp[u][0/1]，表示以u为根的子树中选择/不选择u的最优解/方案数；dp[u][i] 表示以u为根的子树中，u的状态为i的最优解/方案数（其实就是第二种定义的扩展）。
一般来说题目给的是一个树形图，那么我们只需要从图中一个存在的节点开始DP即可。注意向下DP时不要重复访问父节点。
由于树这种结构中，儿子与父亲的关系比较紧密，我们一般采用记忆化搜索，可以减免大量不合法的计算（只有儿子与父亲之间才能直接计算）。
◇ 经典选讲
（均出自《算法竞赛入门经典》-刘汝佳）
【UVa 12186】Another Crisis（工人的请愿书）
<题意>
某公司里有一个老板和n（n≤10 5 ）个员工组成树状结构，除了老板之外每个员工都有唯一的直属上司。老板的编号为0，员工编号为1～n。工人们（即没有直接下属的员工）打算签署一项请愿书递给老板，但是不能跨级递，只能递给直属上司。当一个中级员工（不是工人的员工）的直属下属中不小于T%的人签字时，他也会签字并且递给他的直属上司。问：要让公司老板收到请愿书，至少需要多少个工人签字？
<解析>
这道题实质上是给定了一个以老板为根的有根树，于是我们DP的起点便是老板。定义状态为dp[u]为员工u签字最少需要多少个人签字。
对于工人u（没有直接下属），能够直接提供一个签字，即dp[u]=1，仅需要一人签字。对于其他非工人员工v，我们计算出他的每一个直属下属的dp值，存入cnt；再通过题目提供的百分数，算出要让他签字，他的直属下属员工最少有多少个需要签字，记为Maxi；那么要让v签字，最少要签字的人数为cnt中前Maxi个最小的值之和。
因为我们要使答案尽量小，取前Maxi个最小的值就可以达到目的。
（详见代码，如果有一些没懂的可以在邮箱里询问~）
<源代码>
1 /*Lucky_Glass*/
2 #include<cstdio>
3 #include<cstring>
4 #include<algorithm>
5 #include<vector>
6 using namespace std;
7 const int MAXN=int(1e5);
8 vector<int> lnk[MAXN+5];
9 int n,m;
10 int dp[MAXN+5];
11 inline bool cmp(int A,int B){return dp[A]<dp[B];}
12 int DP(int u){
13 if(dp[u]) return dp[u];
14 if(lnk[u].size()==0) return dp[u]=1;
15 vector<int> cnt;
16 for(int i=0;i<(int)lnk[u].size();i++)
17 cnt.push_back(DP(lnk[u][i]));
18 sort(cnt.begin(),cnt.end());
19 int Maxi=lnk[u].size()*m/100+(lnk[u].size()*m%100? 1:0);
20 for(int i=0;i<Maxi;i++)
21 dp[u]+=cnt[i];
22 return dp[u];
23 }
24 int main(){
25 //freopen("in.txt","r",stdin);
26 while(~scanf("%d%d",&n,&m) && n && m)
27 {
28 memset(dp,0,sizeof dp);
29 memset(lnk,0,sizeof lnk);
30 for(int i=1,pre;i<=n;i++)
31 scanf("%d",&pre),lnk[pre].push_back(i);
32 printf("%d\n",DP(0));
33 }
34 return 0;
35 }Another Crisis
【UVa 1220】Party at Hali-Bula（Hali-Bula的晚会）
<题意>
公司里有n（n≤200）个人形成一个树状结构，即除了老板之外每个员工都有唯一的直属上司。要求选尽量多的人，但不能同时选择一个人和他的直属上司。问：最多能选多少人，以及在人数最多的前提下方案是否唯一。输出第一个数为最多能选多少人，接下来若仅有一种选择方案能够达到最大选择人数，则输出Yes，否则输出No。
<解析>
本题相对上一题又多了一层状态——当前节点选或不选。也就是最开始在算法概述中描述的第二种状态定义。
先处理输入，我们先利用STL容器map<string,int>将名字映射到编号上，相当于重新编了号，固定“老板”的编号为1。
根据题意可知，对于一棵子树，若选取其根节点，则根节点的所有儿子都不能选；若不选根节点，则根节点的儿子可选可不选。那么我们DP开始时就要先判断“老板”这个节点选还是不选，即在dp[1][0]和dp[1][1]中取较大值。那么可以得到下面的状态转移方程式：
应该还是很好理解吧?……不懂的问邮箱……我再详细解答一下?
下面就奉上代码啦~
<源代码>
1 /*Lucky_Glass*/
2 #include<cstdio>
3 #include<cstring>
4 #include<algorithm>
5 #include<iostream>
6 #include<map>
7 #include<vector>
8 using namespace std;
9 const int MAXN=200;
10 int n;
11 map<string,int> nam;int cnt;
12 vector<int> lnk[MAXN+5];
13 pair<int,bool> dp[MAXN+5][2];
14 pair<int,bool> DP(int u,int f){
15 if(dp[u][f].first) return dp[u][f];
16 if(lnk[u].size()==0) {return dp[u][f]=make_pair(f,true);}
17 dp[u][f].second=true;
18 for(int i=0;i<lnk[u].size();i++)
19 {
20 int v=lnk[u][i];
21 pair<int,int> res=f? DP(v,0):max(DP(v,0),DP(v,1));
22 if(!f && dp[v][0]==dp[v][1]) res.second=false;
23 dp[u][f].first+=res.first;
24 dp[u][f].second=dp[u][f].second&&res.second;
25 }
26 dp[u][f].first+=f;
27 return dp[u][f];
28 }
29 int main(){
30 //freopen("in.txt","r",stdin);
31 while(~scanf("%d",&n) && n)
32 {
33 memset(dp,0,sizeof dp);
34 memset(lnk,0,sizeof lnk);
35 nam.clear();cnt=0;
36 string str;cin>>str;
37 nam[str]=++cnt;
38 for(int i=1,u,v;i<n;i++)
39 {
40 cin>>str;if(!nam.count(str)) nam[str]=++cnt;v=nam[str];
41 cin>>str;if(!nam.count(str)) nam[str]=++cnt;u=nam[str];
42 lnk[u].push_back(v);
43 }
44 pair<int,int> res=max(DP(1,0),DP(1,1));
45 if(dp[1][0].first==dp[1][1].first) res.second=false;
46 printf("%d %s\n",res.first,res.second? "Yes":"No");
47 }
48 return 0;
49 }Party at Hali-Bula
【UVa 1218】Perfect Service
<题意>
有n（n≤10000）台机器形成树状结构。要求在其中一些机器上安装服务器，使得每台不是服务器的计算机恰好和一台服务器计算机相邻。求服务器的最少数量。
下面两个例子：（a）是非法的，因为4同时和两台服务器相邻，而6不与任何一台服务器相邻。而图（b）是合法的。
<解析>
这道题的状态就更为复杂——因为父节点影响子节点的状态总共3个，所以为了能够转移状态，我们需要在dp的第二维设置成3个状态。
dp[u][0]：节点u本身就是一个服务器；
dp[u][1]：节点u的父亲是一个服务器，但u不是；
dp[u][2]：节点u和u的父亲都不是服务器；
那么根据题目给出的条件——一个非服务器节点的相邻节点有且仅有1个节点是服务器。我们可以推论出：若u是服务器，则u的儿子可以是服务器也可以不是(状态0和1)；若u不是服务器，但u的父亲是服务器，则由于u不能相邻两个服务器，u的儿子也一定不是服务器（状态2）；若u的父亲和u都不是服务器，则由于u必须相邻一个服务器，u的儿子一定是服务器（状态0）。
状态转移方程式就像下面这样：
关键在定义状态，在方便转移的情况下尽可能的简洁！
就没有什么特别重要的了……?
<源代码>
1 /*Lucky_Glass*/
2 #include<cstdio>
3 #include<cstring>
4 #include<algorithm>
5 #include<vector>
6 using namespace std;
7 const int MAXN=10000,INF=int(1e7);
8 int n;
9 vector<int> lnk[MAXN+5];
10 int dp[MAXN+5][3];//0: u is service ; 1: u's father is service ; 2: neither of u and its father is service
11 int DP(int u,int flag,int pre)
12 {
13 if(dp[u][flag]) return dp[u][flag];
14 if(lnk[u].size()==1 && pre!=-1)
15 {
16 if(flag==2) return dp[u][flag]=INF;
17 return dp[u][flag]=!flag;
18 }
19 dp[u][flag]=0;
20 for(int i=0;i<(int)lnk[u].size();i++)
21 {
22 int v=lnk[u][i];
23 if(pre==v) continue;
24 int A,B;A=B=INF;
25 switch(flag)
26 {
27 case 0:
28 A=DP(v,0,u);
29 B=DP(v,1,u);
30 break;
31 case 1:
32 A=DP(v,2,u);
33 break;
34 case 2:
35 A=DP(v,0,u);
36 break;
37 }
38 dp[u][flag]+=min(A,B);
39 }
40 dp[u][flag]+=!flag;
41 return dp[u][flag];
42 }
43 int main(){
44 //freopen("in.txt","r",stdin);
45 while(true)
46 {
47 memset(dp,0,sizeof dp);
48 memset(lnk,0,sizeof lnk);
49 scanf("%d",&n);
50 for(int i=1,u,v;i<n;i++)
51 scanf("%d%d",&u,&v),
52 lnk[u].push_back(v),
53 lnk[v].push_back(u);
54 int A=DP(1,0,-1);
55 int B=DP(1,2,-1);
56 int res=min(A,B);
57 printf("%d\n",res);
58 int tag;scanf("%d",&tag);
59 if(tag==-1) break;
60 }
61 return 0;
62 }Perfect Service
The End
Thanks for reading!
- Lucky_Glass
转载于:https://www.cnblogs.com/LuckyGlass-blog/p/9451991.html
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