topcoder srm 635 div1

problem1 link

首先枚举长度$L$。然后计算每一段长度$L$的差值最大公约数，然后差值除以最大公约数的结果可以作为当前段的关键字。然后不同段就可以比较他们的关键字，一样就是可以转化的。

problem2 link

对于那些一定要换的，把它们的places和cutoff拿出来，排个序。设它们为$p_{1},p_{2},..,p_{k},c_{1},c_{2},..,c_{k},$.最优的策略一定是从小到大挨个匹配。

如果到了某个位置不能匹配，比如$t$.那么需要从那些不需要交换的组里面拿出一个$(np,nc)$，这个需要满足$np\leq c_{t}$并且$nc$尽量大。

problem3 link

由于会有两个值不大于200,那么这两种最后会把整个序列最多分为401段。然后就是考虑把后面的两种也分成这么多段插进去就好。

第一个问题，假设$f[n][m][k]$表示第一个颜色和第二个颜色各有$n$和$m$个，分成$k$段的方案数。有一个性质是每一段两个是交错的，所以数量差不会超过1,那么可以得到转移方程：

（1）两个一样多组成一段：$n>0, m>0\rightarrow f[n][m][k]=2\sum_{i=1}^{min(n,m)}f[n-i][m-i][k-1]$

（2）第一个多一个组成一段：$n>0\rightarrow f[n][m][k]=\sum_{i=1}^{min(n-1,m)}f[n-1-i][m-i][k-1]$

（3）第二个多一个组成一段：$m>0\rightarrow f[n][m][k]=\sum_{i=1}^{min(n,m-1)}f[n-i][m-1-i][k-1]$

所以可以预处理对角线的前缀和可以在$O(nm(n+m))$的复杂度的计算完$f$

第二个问题，假设现在有$m$段，将后面两个插进去，有多少方法。这$m$段有三种情况，第一种第三个颜色的数量多一个，第二种第四个颜色的数量多一个，第三种两种颜色一样多。设第三种颜色第四种颜色的数量分别为$a,b,a\leq b$。这三种段的数量分别为$t,p,q$，那没有$t+p+q=m,p-t=b-a$。所以可以枚举$t$，然后$p,q$就可以都确定。令$X=a-t=b-p$,剩下的问题就是将$X$分成$m$个数字之和使得前$t+p$个数字可以为0,后面$q$个数字不能为0.这等价于将$Y=X+t+p-m$个数字分成$m$个数字之和，每个数字大于等于0.答案为$C_{Y+m-1}^{m-1}=C_{X+t+p-m-m-1}^{m-1}=C_{a-t+t+p-m+m-1}^{m-1}=C_{a+p-1}^{m-1}$

所以$G(m,a,b)=\sum_{t=0}^{min(a,m)}C_{m}^{t}*C_{m-t}^{p}*2^{q}*C_{a+p-1}^{m-1}[q\geq 0]$

code for problem1

#include <cmath>
#include <vector>class SimilarRatingGraph {public:double maxLength(const std::vector<int> &date,const std::vector<int> &rating) {int n = static_cast<int>(date.size());auto Length = [&](int idx) {double x = date[idx] - date[idx - 1];double y = rating[idx] - rating[idx - 1];return std::sqrt(x * x + y * y);};double result = 0;for (int L = n - 1; L > 1; --L) {int m = n - L + 1;std::vector<std::pair<long long, long long>> sum(m);for (int i = 0; i + L <= n; ++i) {int g = 0;for (int j = i + 1; j < i + L; ++j) {g = Gcd(g, date[j] - date[j - 1]);g = Gcd(g, std::abs(rating[j] - rating[j - 1]));}long long s0 = 0;long long s1 = 0;for (int j = i + 1; j < i + L; ++j) {int t0 = (date[j] - date[j - 1]) / g;int t1 = (rating[j] - rating[j - 1]) / g;s0 = s0 * 100007 + t0 + (j - i);s1 = s1 * 100007 + t1 + (j - i);}sum[i] = {s0, s1};}std::vector<double> sum_length(m, 0);for (int i = 1; i < L; ++i) {sum_length[0] += Length(i);}for (int i = 1; i < m; ++i) {sum_length[i] = sum_length[i - 1] + Length(i + L - 1) - Length(i);}for (int i = 0; i < m; ++i) {for (int j = i + 1; j < m; ++j) {if (sum[i] == sum[j]) {result = std::max(result, std::max(sum_length[i], sum_length[j]));}}}}return result;}private:int Gcd(int x, int y) { return y == 0 ? x : Gcd(y, x % y); }
};

code for problem2

#include <algorithm>
#include <vector>class StoryFromTCO {public:int minimumChanges(const std::vector<int> &places,const std::vector<int> &cutoff) {std::vector<std::pair<std::pair<int, int>, bool>> good;std::vector<int> bad_places;std::vector<int> bad_cutoff;for (size_t i = 0; i < places.size(); ++i) {if (places[i] <= cutoff[i]) {good.push_back({{places[i], cutoff[i]}, false});} else {bad_places.push_back(places[i]);bad_cutoff.push_back(cutoff[i]);}}auto Sort = [&](size_t idx) {std::sort(bad_places.begin() + idx, bad_places.end());std::sort(bad_cutoff.begin() + idx, bad_cutoff.end());};auto FindBest = [&](int cut) -> int {int n = static_cast<int>(good.size());int bst = -1;for (int i = 0; i < n; ++i) {if (!good[i].second && good[i].first.first <= cut &&(bst == -1 || good[bst].first.second < good[i].first.second)) {bst = i;}}return bst;};Sort(0);size_t idx = 0;while (idx < bad_places.size()) {if (bad_places[idx] <= bad_cutoff[idx]) {++idx;continue;}int bst = FindBest(bad_cutoff[idx]);if (bst == -1) {return -1;}bad_places.push_back(good[bst].first.first);bad_cutoff.push_back(good[bst].first.second);good[bst].second = true;Sort(idx);}return static_cast<int>(bad_cutoff.size());}
};

code for problem3

#include <algorithm>
#include <vector>constexpr int kMAXN = 100000;
constexpr int kMAXM = 400;
constexpr int kMod = 1000000009;long long fact[kMAXN + kMAXM + 1];
long long fact_inv[kMAXN + kMAXM + 1];
long long fpow[kMAXM + 2];int f[kMAXM / 2 + 1][kMAXM / 2 + 1][kMAXM + 1];class ColourHolic {public:int countSequences(std::vector<int> all) {std::sort(all.begin(), all.end());Initialize(all[2] + all[3] + all[0] + all[1]);if (all[2] == 0) {if (all[3] > 1) {return 0;} else {return 1;}}if (all[1] == 0) {if (all[2] == all[3]) {return 2;} else if (all[2] + 1 == all[3]) {return 1;} else {return 0;}}auto Get = [&](int m, int mul) {long long r = Compute(m + 1, all[2], all[3]);r += Compute(m, all[2], all[3]) * 2;r += Compute(m - 1, all[2], all[3]);return static_cast<int>(r % kMod * mul % kMod);};if (all[0] == 0) {return Get(all[1], 1);}int n = all[0];int m = all[1];f[0][1][1] = 1;for (int i = 1; i <= n; ++i) {f[i][i][1] = 2;f[i][i - 1][1] = 1;if (i + 1 <= m) {f[i][i + 1][1] = 1;}}int result = Get(1, f[n][m][1]);for (int k = 2; k <= n + m; ++k) {for (int i = 0; i <= n; ++i) {int t = 1;while (t <= m && i + t <= n) {Add(f[i + t][t][k - 1], f[i + t - 1][t - 1][k - 1]);++t;}}for (int j = 1; j <= m; ++j) {int t = 1;while (t <= n && j + t <= m) {Add(f[t][j + t][k - 1], f[t - 1][j + t - 1][k - 1]);++t;}}for (int i = 0; i <= n; ++i) {for (int j = 0; j <= m; ++j) {if (i > 0 && j > 0) {Add(f[i][j][k], f[i - 1][j - 1][k - 1] * 2);}if (i > 0) {Add(f[i][j][k], f[i - 1][j][k - 1]);}if (j > 0) {Add(f[i][j][k], f[i][j - 1][k - 1]);}}}Add(result, Get(k, f[n][m][k]));}return result;}private:void Add(int &x, int y) {if (y >= kMod) {y -= kMod;}x += y;if (x >= kMod) {x -= kMod;}}long long Compute(int m, int a, int b) {if (m == 0) {return 0;}long long result = 0;for (int t = 0; t <= a && t <= m; ++t) {int p = b - a + t;int q = m - p - t;if (q < 0) {continue;}result += C(m, t) * C(m - t, p) % kMod * fpow[q] % kMod *C(a + p - 1, m - 1) % kMod;}return result % kMod;}void Initialize(int n) {fact[0] = fact_inv[0] = 1;fact[1] = fact_inv[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; ++i) {fact[i] = fact[i - 1] * i % kMod;fact_inv[i] = GetInv(fact[i]);}fpow[0] = 1;for (int i = 1; i <= kMAXM + 1; ++i) {fpow[i] = fpow[i - 1] * 2 % kMod;}}long long C(int n, int m) {if (n < m || m < 0) {return 0;}return fact[n] * fact_inv[m] % kMod * fact_inv[n - m] % kMod;}long long GetInv(long long n) {int m = kMod - 2;long long r = 1;while (m != 0) {if ((m & 1) == 1) {r = r * n % kMod;}m >>= 1;n = n * n % kMod;}return r;}
};

转载于:https://www.cnblogs.com/jianglangcaijin/p/10002830.html

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