十三 赖可 发自 凹非寺
量子位 报道 | 公众号 QbitAI

试想一下，如果你的裤子破了好几个洞，每个洞形状各异，但是宽度都不超过1厘米。

该如何设计一个通用的补丁，能够把所有的洞都补上呢？

这个问题在数学上叫做：万有覆盖问题（universal covering problem)。

已经让数学家思考了一百年。

乍一听上去，这像是一个很简单的问题。

但是稍微想一想，似乎又不那么简单。

比如一个边长为1的等腰三角形，和一个直径为1 的圆形，两者的直径都为 1。

但是，这个三角形就不能被圆形覆盖。

而最近，一个退休程序员，用高中方法取得了最新进展。

为什么这么难？

这个难题的的提出者，法国著名数学家：勒贝格(Henri Léon Lebesgue)。

△Henri Léon Lebesgue

他提出了勒贝格积分，拓宽了积分学的研究范围。

在1914时，他给好朋友Julius Pál（也是数学家）写信时提了一个问题：

在一个平面上，找一个最小区域，让它可以覆盖直径不超过1个单位的面积？

直径不超过1个单位的任意形状，就是一个封闭曲线的边缘上，最远两点的距离不超过1个单位。

这个问题最难的部分是：

无法穷举所有直径为1的形状到底长什么样子。

直径为1的形状千千万，到底用哪种万能补丁才能全部覆盖它们呢？

万有覆盖“通用”方法

但是这个问题并不难上手，只要你有高中数学基础，就可以试一下。

接下来，让我们一起看看数学家们目前解决这个问题的方法。

从直径为1的需要覆盖的区域R入手。

虽然不知道R长什么样子，能够确定的一点是：它绝对不会超过1个单位的宽度。

那么就先假设它有2个点——A和B，距离为1个单位。

现在，我们假设除了A和B之外，在R区域内还存在一个点C。

那么C可能在哪里呢？

它不可能大于A的1个单位，这意味着它必须在以A为圆心且半径为1的圆中。

但另外一个问题是，C和B的距离也不能超过1个单位。

所以C也必须在以B为圆心且半径为1的圆中。

所以，C的位置就确定在了两个圆形的交集位置。

到A和B的距离不能超过1，这一条件不仅仅适用于点C，还适用于区域R中的每个点。

所以R中的每一个点都必须位于这两个圆的交集区域中。

换句话说，这个区域可以覆盖直径为1的所有可能的R集，是一个万有覆盖区域。

但是这个区域不是最小面积，需要对它进行一下修剪。

注意，圆的相交点形成两个等边三角形，顶点分别是是A、B，以及距离AB中点垂直距离为√3/2的上下两个点。

因为√3/2大于1/2，我们可以画两条平行线，与AB平行，距离AB 1/2个单位。

现在，考虑下图中红色的区域。

因为两个平行线之间的距离为1个单位，所以直径为1的集合不可能同时出现在两个红色区域。就可以去掉一个。

这样万有覆盖面积从原来的(2π/3)-(√3/2)≈1.228，减少到(π/2)-1/2≈1.071

从一个基本的万有覆盖开始，可以通过去掉一个无关紧要的部分，来缩小它的面积。

这就是数学家们得到最小万有覆盖的方法。

优化方法：Pál六边形

通过更先进的技术，我们还能找到一些其他的简单形状。

Pál利用定宽曲线的特性表明：

即使直径为1的一组曲线，可能会从直径1的圆中“伸”出来，它也总是可以通过移动或旋转，以适应围成这个圆的六边形。

下图就展示了Pál提出的，可以覆盖各种形状(直径为1)的六边形。

上图中间的形状是一个勒洛三角形(Reuleaux triangle)，这是一个与我们上一小节提到的万有覆盖密切相关的定宽曲线。

勒洛三角形是一个弧三角形，通过三个相同的圆可以获得。

这个六边形的面积是√3/2≈0.866，比我们上小节所得到的面积还要小。

但Pál也表示，并不需要整个六边形。

他通过巧妙的旋转，去掉了一些无关部分。

首先，将两个Pál六边形堆叠在一起。

其中一个六边形绕中心旋转30度。

出现了6个红色小三角形。

每个红色小三角形，都处在未旋转六边形的外部，以及旋转六边形的内部。

由于每个六边形平行对边的距离是1个单位，所以对着的两个红色小三角形中的点距离肯定大于1个单位。

也就是说，一组直径为1的形状不可能同时出现在两个相对的红色小三角形中。

按照上一小节的思路，可能会觉得应该能从6个小三角形去掉3个小三角形，但实际上是不行的。

因为一个六边形旋转60度，或者对称翻转一下，都不会发生形状的改变。

所以从相对的一对中选择一个红色三角形只有两种不同的方法：

3个三角形可以是连续的，也可以是交替的。

但是，我们可以去掉2个这样的小三角形。Pál就是这么做的。

他从他的六边形上切下两个三角形，得到一个保证能覆盖所有直径为1的区域的新形状。

这种新的万有覆盖的面积是2-2/√3≈0.8453，比六边形面积略小一些。
但是Pál六边形并不是最优解。

在此基础上，数学家和数学爱好者们继续修修剪剪。

在1992年，数学家Roland Sprague和HC Hansen在Pál六边形上减去了三个小细条。

使面积缩小为0.844137708416。

Sprague减少了0.001单位面积，Hansen减少了0.00000000004单位面积。

退休程序员用高中几何，两次逼近极限

然后二十年过去了，这个问题毫无进展。

直到2014年，一位叫做Philip Gibbs的退休软件工程师尝试解决这个数学问题。

他利用自己的编程背景优势，尝试用电脑解来解决。

△Philip Gibbs

Gibbs首先对200个随机生成的直径为1的形状进行了计算机模拟。

这些模拟结果表明，他或许能够修剪一个最小万有覆盖空间顶部角落的一些区域。

随后，他证明了新的覆盖对所有可能的直径为1的形状都适用。

2015年2月，Gibbs和两位共同研究者将论文发表在了网上。

△论文地址：https://arxiv.org/abs/1502.01251

他们把最小万有覆盖面从0.8441377减少到0.8441153单位面积。

他的策略是将所有直径为1的形状移到他早些年发现的万有覆盖的某一角。

然后把对角部分剩下的任何区域都去掉；然而从节省面积测量的角度来说，却是非常精确的。

虽然此次减小的单位面积只有0.0000224，但这却几乎是汉森在1992年减少的面积的100万倍！

然而，这并未阻止他进一步的“裁剪”。

2018年10月，Gibbs独自又发布了一篇文章，再次将最小万有覆盖面积缩小。

△论文地址：https://arxiv.org/abs/1810.10089

要知道，在Gibbs的基础上再缩小覆盖面积实属不易。正如来自加州大学河滨分校的数学家约翰·贝兹所说：

你不可能真的把这些碎片画出来，因为他们都是原子大小的。

而Gibbs却再次突破了极限，堪称原子剪刀。

这一次他的着手点是上图中的点A和点E。

最终，通过这次研究，得到的最小面积就是0.8440935944。

值得一提的是，实验方法基本都属于高中几何知识。

正如贝兹所评价：

从数学角度来说，这只是高中几何难度，但是它几乎让人为之疯狂。

极限挑战，仍将继续

问题虽然还没有最终解决，但是在2005年的时候，有数学家计算出了这个问题的理论下限，万有覆盖范围不能小于0.832单位面积。

抵达终点最后一步步依旧等待人来跨越，困难之处依旧在于，直径唯一的形状千变万化，最后给出的范围需要涵盖所有可能性。

如果你做到了，名字就将载入数学史。

传送门

QuantaMagazine博客：
https://www.quantamagazine.org/how-simple-math-can-cover-even-the-most-complex-holes-20200108/
https://www.quantamagazine.org/amateur-mathematician-finds-smallest-universal-cover-20181115/

GitHub项目地址：
https://github.com/guadaran/lebesgue-universal-covering-problem

作者系网易新闻·网易号“各有态度”签约作者

— 完 —

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