UVA10294项链和手镯（等价类计数问题）

题意：
给你一串珠子（连接成了一个环），共有n个珠子组成，你有t种颜色，现在你来给这个珠子染色，问染成项链有多少种方法？染成手镯有多少种方法？在项链里，经过顺时针旋转后相同的算一个，在手镯里，经过顺时针旋转或者沿着对称轴兑换后一样的算一个。

思路：
比较典型的等价类计数问题，我们定义两个变量，a是旋转的总个数，b是翻转的总个数，那么根据Burnside和Polya定理，a = C[0] + C[1] + C[2] +..+C[n-1];
C[i]表示的是顺时针移动i个后的种类数，C[i] = t^w,t是颜色种类，w是循环节个数，在这个题目里，旋转是的循环节个数为gcd(i ,n);至于为什么可以自己想，想不通的话可以想想杭电上那个切蛋糕的题目，那么C[i] = t^gcd(i ,n)这样就能求出各个C[i]然后求出a,此时的相连的答案已经出来了，就是a/n，那么b呢？b可以分情况讨论，如果n是奇数那么对角线一共有n条，每次可以分出来(n+1)个循环节，那么b = n * t ^ ((n + 1)/2)如果n是偶数的话有两种情况，不穿过任何点的为 n/2*t(n/2) 穿过两个点的对角线为n/2*(n/2+1)那么此时的b=n/2*(t^(n/2) + t^(n/2+1)),那么手镯的种类为(a+b)/(n*2).

这里在解释下上面的那两个定理，那两个定理是求等价类计数问题的常用定理，大体意思就是说种类数等于所有可能置换方法的方法数的平均数，而每一个置换方法的个数等于颜色个数的循环节次幂，循环节就是置换里面的那个循环节。

#include<stdio.h>

long long gcd(long long a ,long long b)
{
return a % b == 0 ? b : gcd(b ,a % b);
}

int main ()
{
long long pow[60];
long long n ,t ,i;
long long a ,b;
while(~scanf("%lld %lld" ,&n ,&t))
{
pow[0] = 1;
for(i = 1 ;i <= n ;i ++)
pow[i] = pow[i-1] * t;
a = 0;
for(i = 0 ;i < n ;i ++)
a += pow[gcd(i ,n)];
if(n & 1) b = n * pow[(n+1)/2];
else b = n / 2 * pow[n/2] + n / 2 * pow[n/2 + 1];
printf("%lld %lld\n" ,a / n ,(a + b) / n / 2);
}
return 0;
}

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