系统分析与仿真1-单输入单输出质量块+阻尼器系统

p46:

是一个水力系统，看到这个模型，首先是建模，但是不知道怎么建模，怎么分析它？

输入量： $c_0,F_0$

状态量： $c,F_1$

常值： $V,\rho$

初始值： $C_{int}$

f=0.085
v=2.1
c0=1.85
c=0.925
t=0
dt=0.01
for n=1:10000
x1(n,:)=[c,t]
dc=f*(c0-c)/v
c=c+dt*dc
t=t+dt
end
plot(x(:,2),x(:,1))
xlabel('time sec')
ylabel('c')

弹簧

$F=ky$

存储的能量 $E=\frac{1}{2}ky^2$

多个弹簧串联：

$\frac{1}{k_{eq}}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}+\frac{1}{k_3}+...+\frac{1}{k_n}$

多个弹簧并联：

$k_{eq}=k_1+k_2+k_3+...+k_n$

阻尼器

$F=b\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} t}$

阻尼器不能存储能量

质量块：

$F=m\frac{\mathrm{d^2y} }{\mathrm{d} x^2}$

能量：

$E=\frac{1}{2}mv^2$

syms s
m=1.0
c=0.1
k=0.1
Num=[1]
Den=[m c k]
G=tf(Num,Den)
step(G)

$[x_1 x_2 x_3 x_4]=[x_1 x^{'}_1 x_2 x^{'}_2 ]$

现在主要分析 $x_1$ 和 $x_2$ 而不是系统的输入和输出，因此需要采用状态空间法去分析系统。

受力分析：

$f(t)-k_1(x_2-x_1)+D_1(x^{'}_2-x^{'}_1)=m_1x^{''}_2$

$k_1(x_2-x_1)+D_1(x^{'}_2-x^{'}_1)-D_2x^{'}_1-k_2x_1=m_2x^{''}_1$

$x^{'}_1=x_2$

$x^{'}_2=x^{''}_1=-\frac{k_1+k_2}{m_2}x_1-\frac{D_1+D_2}{m_2}x_2+\frac{k_1}{m_2}x_3+\frac{D_1}{m_2}x_4$

$x^{'}_3=x_4$

$x^{'}_4=x^{''}_2=\frac{k_1}{m_1}x_1-\frac{D_1}{m_1}x_2-\frac{k_1}{m_1}x_3+\frac{D_1}{m_1}x_4+\frac{1}{m_1}f(t)$

$\bigl(\begin{smallmatrix} \\ x^{'}_1 \\ x^{'}_2 \\ x^{'}_3 \\x^{'}_4 \end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1& 0& 0\\ -\frac{k_1+k_2}{m_2}& -\frac{D_1+D_2}{m_2}&\frac{k_1}{m_2}&\frac{D_1}{m_2} \\0 &0 &0 &1 \\\frac{k_1}{m_1} &-\frac{D_1}{m_1} & -\frac{k_1}{m_1}& \frac{D_1}{m_1}\end{smallmatrix}\bigr)\bigl(\begin{smallmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{smallmatrix}\bigr)+\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ \frac{1}{m_1} \end{bmatrix}f(t)$

仿真分析代码：

写法————————

k1=5
k2=7
m1=2
m2=3
D1=40
D2=30A=[0 1 0 0;-(k1+k2)/m2 -(D1+D2)/m2 k1/m2 D1/m2;0 0 0 1;k1/m1 -D1/m1 -k1/m1 D1/m1]
B=[0;0;0;1/m1]x=[0 1 0 1]
f=5*t
C=[0 0 1 0]
D=0
G=ss(A,B,C,D)t=19:0.01:20
[y,t,x]=lsim(G,f,t,x)plot(t,x(:,1),'b-',t,x(:,2),'r-',t,x(:,3),'g-',t,x(:,4),'-*')

A =

0 1.0000 0 0
-4.0000 -23.3333 1.6667 13.3333
0 0 0 1.0000
2.5000 -20.0000 -2.5000 20.0000

B =

0
0
0
0.5000

C =

0 0 1 0

D =

0

因为直接是单输入单输出系统，分析：

>>sys=tf(G)

sys =

0.5 s^2 + 11.67 s + 2
---------------------------------------------
s^4 + 3.333 s^3 - 193.5 s^2 - 21.67 s + 5.833

>>rlocus(G)

所以系统始终不稳定

受力分析：

$F-c(y^{'}_1-y^{'}_2)-k_2(y_1-y_2)=m_2y^{''}_2$

$c(y^{'}_1-y^{'}_2)+k_2(y_1-y_2)-k_1y_1=m_1y^{''}_1$

$x1=y1;x2=y'_1;x3=y2;x4=y'_2$

$x'_1=x_2$

$x'_2=y''_1=\frac{k_2-k_1}{m_1}x_1+\frac{c}{m_1}x_2-\frac{k_2}{m_1}x_3-\frac{c}{m_1}x_4$

$x'_3=x_4$

$x'_4=y''_2=-\frac{k_2}{m_2}x_1-\frac{c}{m_2}x_2+\frac{k_2}{m_2}x_3+\frac{c}{m_2}x_4+\frac{1}{m_2}F$

$\bigl(\begin{smallmatrix} x'_1\\ x'_2\\ x'_3\\ x'_4 \end{smallmatrix}\bigr)=\begin{pmatrix} 0 &1 &0 &0 \\ \frac{k_2-k1}{m_1}& \frac{c}{m_1}&-\frac{k_2}{m_1} &-\frac{c}{m_1} \\0 &0 & 0&1 \\-\frac{k_2}{m_2} &-\frac{c}{m_2} &\frac{k_2}{m_2} &\frac{c}{m_2} \end{pmatrix}\bigl(\begin{smallmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{smallmatrix}\bigr)+\bigl(\begin{smallmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ \frac{1}{m_2} \end{smallmatrix}\bigr)F$

k1=2
k2=3
c=4
m1=1
m2=1A=[0 1 0 0;(k2-k1)/m1 c/m1 -k2/m1 -c/m1;0 0 0 1;-k2/m2 -c/m2 k2/m2 c/m2]
B=[0;0;0;1/m2]
C=[0 0 1 0]
D=0f=8*t
G=ss(A,B,C,D)x=[0;0;0;0]
[y,t,x]=lsim(G,f,t)subplot(2,2,1)
plot(t,x(:,1))
subplot(2,2,2)
plot(t,x(:,2))
subplot(2,2,3)
plot(t,x(:,3))
subplot(2,2,4)
plot(t,x(:,4))

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