最大子段和——分治与动态规划

问题：

给定n个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n],求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值。当所给的整均为负数时定义子段和为0，依此定义，所求的最优值为：

   Max{0,a[i]+a[i+1]+…+a[j]},1<=i<=j<=n
    例如，当（a1,a2,a3,a4,a4,a6）=(-2,11,-4,13,-5,-2)时，最大子段和为20。

问题求解：

/*简单算法:
**v[0]不保存数据
**T(n)=O(n^2).
*/
int MaxSum(int *v,int n,int *besti,int *bestj)
{int sum=0;int i,j;for (i=1;i<=n;i++){int thissum=0;for (j=i;j<=n;j++){thissum+=v[j];if (thissum>sum){sum=thissum;*besti=i;*bestj=j;}}}return sum;
}
/*分治法:
**将a[1n]分成a[1n/2]和a[n/2+1n],则a[1n]的最大字段和有三种情况:
**(1)a[1n]的最大子段和与a[1n/2]的最大子段和相同
**(2)a[1n]的最大子段和与a[n/2n]的最大子段和相同
**(3)a[1n]的最大子段和为ai++aj,1<=i<=n/2,n/2+1<=j<=n
**T(n)=2T(n/2)+O(n)
**T(n)=O(nlogn)
*/
int MaxSum_DIV(int *v,int l,int r)
{int k,sum=0;if(l==r)return v[l]>=0?v[l]:0;else{int center=(l+r)/2;int lsum=MaxSum_DIV(v,l,center);int rsum=MaxSum_DIV(v,center+1,r);int s1=0;int lefts=0;for (k=center;k>=l;k--){lefts+=v[k];if(lefts>s1)s1=lefts;}int s2=0;int rights=0;for (k=center+1;k<=r;k++){rights+=v[k];if(rights>s2)s2=rights;}sum=s1+s2;if(sum<lsum)sum=lsum;if(sum<rsum)sum=rsum;}return sum;
}
/*动态规划算法:
**b[j]=max{a[i]++a[j]},1<=i<=j,且1<=j<=n,则所求的最大子段和为max b[j]，1<=j<=n。
**由b[j]的定义可易知，当b[j-1]>0时b[j]=b[j-1]+a[j]，否则b[j]=a[j]。故b[j]的动态规划递归式为:
**b[j]=max(b[j-1]+a[j],a[j])，1<=j<=n。
**T(n)=O(n)
*/
int MaxSum_DYN(int *v,int n)
{int sum=0,b=0;int i;for (i=1;i<=n;i++){if(b>0)b+=v[i];elseb=v[i];if(b>sum)sum=b;}return sum;
}

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