2.1　数据的表示

2.1.1　定点数的表示

1.原码表示法

在实际生活中，我们遇到的数据一般是十进制的、带正/负号的、带小数点的。但遗憾的是，截至目前，计算机能直接处理还只是由0和1组成的二进制数。因此，在计算机中，十进制数必须转换成二进制数(转换方法参见附录C)，并且用0表示正号，用1表示负号。这样的符号“数字化”的二进制数称为机器数。相对而言，带＋/-号的数称为真值。

为了简化设计与制造，计算机不直接表示小数点，而是默认小数点位于数值的前部或者后部，这样表示的数据称为定点数(Fixed Point Number)。小数点被默认位于数值前部的叫定点小数，被默认位于数值后部的叫定点整数。一般的计算机只选择实现一种定点数。

在早期采用定点小数的计算机里，大于1的数据必须先通过适当的比例因子转换成小于1的数据，并保证运算的中间结果也是小于1的，在输出结果时再将数据按比例放大、还原。采用定点小数的计算机是最节省硬件的。

在定点数的表示格式中，最高位(The Most Significant Bit，MSB)被当作符号位(Sign Bit)。也就是说，定点数的最高位为0，表示它是正数；为1，表示它是负数。

在机器实现中，定点数的小数点是不实现、不保存的。但是为了便于人们阅读时区别定点小数和定点整数，在定点数的书面表示中，一般在定点小数的符号位后加上一个“.”，在定点整数的符号位后加上一个“，”。

这样就得到了计算机中定点数最直观的表示方法：符号—绝对值表示法(The Sign-Magnitude Representation)。在我国，这种表示法称为原码表示法。例如，

X ＝＋1011010B，[X]原＝0, 1011010B；

Y＝-1011010B，[Y]原＝1, 1011010B；

Z＝＋0.1101010B，[Z]原＝0. 1101010B；

K＝-0.1101010B，[K]原＝1. 1101010B。

事实上，一个二进制数据的具体原码表示依赖于机器的字长，机器字的最高位为符号位。

例如，Y＝- 011010B，机器字长是8位时，[Y]原＝1,1011010B；机器字长是16位时，[Y]原＝1,000000001011010B。

【例2-1】　设机器字长为8位，X＝-0101010B，Y＝＋1010101B，求[X]原 和[Y]原＝？

答：[X]原＝10101010B，[Y]原＝01010101B。

【例2-2】　设机器字长为8位，X＝0，求[X]原＝？

答：对于零(0)而言，其原码中的符号位取0、取1都是可以的。

所以[0]原＝10000000B或者[0]原＝00000000B。

从例2-2可以看出：零(0)的原码表示有两种形式：正零和负零。这就给计算机实现“判断一个数是否等于零”(这是程序中一个常见的操作)带来麻烦。后面我们将会看到：这个问题可以通过引入补码(Complement)来解决。

由于需要拿出一位二进制数位来表示符号，所以原码表示的n位定点整数的表示范围是：＋(2 n-1-1) ～-(2 n-1-1)。例如8位定点整数的表示范围是：-(27-1)～＋(27-1)，即-127～＋127；16位定点整数的表示范围是：-(215-1)～＋(215-1)，即-32767～＋32767。

原码表示的n位定点小数的表示范围是：-[1-2-(n-1) ]～＋[1-2-(n-1) ]。

从理论上，n位二进制数共有2 n个码点(Pattern)，能够表示2n个数据，但是原码表示的n位定点整数的表示范围是-(2 n-1-1)～＋(2 n-1-1)，只表示了2 n-1个数据，其原因就是零(0)的原码占去了两个码点。

由于n位二进制数需要拿出1位作为符号位，所以它能够表示的最大数的绝对值是(2n-1-1)。为了能够表示绝对值更大的数据，在数据都是正数的情况下，可以把符号位省略掉，n个二进制数位全部用来表示数据的数值。这样表示的整数称为无符号数(Unsigned Integer)。n位无符号数的表示范围是：0～＋(2n-1)。例如8位无符号数的表示范围是：0～255，16位无符号数的表示范围是：0～65535。

从这个意义上说，定点数可分为带符号数和无符号数。原码表示法和下面将要介绍的补码、反码表示法都是针对带符号数的。

原码表示法简单明了，易于和真值转换，乘、除法运算的规则比较简单(详见2.2节)，但是它最主要的缺点是加、减运算的实现比较复杂，即在执行用户指定加、减运算时，不能简单地直接进行加、减运算。它需要先判断两个操作数的符号及其绝对值的相对大小，然后再执行所需要的运算。例如，两数相加时，先比较符号位，若同号，则做加法，否则做减法。在做减法时，先比较两个数绝对值的相对大小，然后用绝对值大的数减去绝对值小的数，结果的符号取绝对值大的操作数符号。比如，用户指定(＋5)-(-3)，最终机器执行的是：5＋3；用户指定(＋5)＋(-3)，最终机器执行的是：5-3。

由此可见，采用原码表示法会导致加、减运算既复杂又费时，而且用户指定的加法运算有时却要使用减法器。那么，能否找到一个与负数等价的正数来代替该负数，然后用加法来代替减法呢？

可以！机器数采用补码表示就能实现这个愿望—ALU中只设加法器，只做加法操作。

2.补码表示法

引入补码表示法的目的是将加、减运算统一为加法运算，简化计算机的控制与实现。在介绍补码之前，我们先来介绍一下“模(Module)”的概念。

在我们日常使用的钟表中，假设当前时间是3点，而钟表快了2小时，它的时针已经指到了5点，就需要将时针调回到3点，即时针指向的数字5要变成3。

实现这个目的的方法有两个，一个是将时针逆时针拨两格(即真的减去2)，另外一个是将时针顺时针拨10格(即加上10)。

为什么时针从5加上10却等于3呢？这是因为钟表上“小时数”都是以12为“模”，即“小时数”等于用12去除然后取余数。所以5＋10＝15 ( mod 12 )＝3。

由此可见，在 “模为12”的意义下，“减去2”与“加上10”是等价的。我们称(-2)相对于“模为12”的补为：12-|-2|＝10。

在计算机中，定点整数的补码是以2n为模。对于一个n位的定点整数X，如果X是一个正数，则它的补码与原码完全相同；如果X是一个负数，则它的补码就等于2n-|X|。

例如，在机器字长为8位的情况下，[＋1]补＝00000001B，[＋127]补＝01111111B，[-1]补＝28-1＝11111111B，[-127]补＝28-127＝10000001B。

值得注意的是：设机器字长为8位，超出部分自动丢失。[＋0]补＝00000000B，[-0]补＝28-0＝00000000B。可见，补码表示法中，零(0)的表示形式就统一了。

那么，原码中用于表示负零的那个码点10000000B不就空闲了吗？

不用担心，它在定点整数补码表示中被指定用来表示-2n- 1，即-128(n＝8)或-32768 (n＝16)；在定点小数补码表示中被指定用来表示-1。

在实际应用中，补码往往是从原码转换来的。转换的口诀是：正数的补码就是它的原码；负数的补码是将其原码，除符号位外，每位取反(即0变成1，1变成0)，然后在最低位(The Least Significant Bit，LSB)加1而得。

感兴趣的读者可以用数学的方法证明这个口诀。

【例2-3】　设机器字长为8位，X＝- 46，求[X]补 ＝？

答：[X]原 ＝ 10101110B。

除符号位外，对[X]原每位取反得到11010001B，在最低位加1得到11010010B。

所以，[X]补 ＝11010010B。

【例2-4】　设机器字长为16位，Y＝-116，求[Y]补＝？

答：[Y]原＝1000 0000 0111 0100B。则 [Y]补＝1111 1111 1000 1100B。

为简洁起见，在书写上述运算结果时，常采用十六进制表示(二进制转换成十六进制的方法参见附录C)。所以，[Y]补＝1111 1111 1000 1100B ＝ FF8CH。

观察上面两道例题的结果，一个负数的原码从它的低位算起，遇到第一个“1”时，原码与补码是相同的。超过这个“1”直至符号位之间的那段数位，原码与补码是相反的。这是一个很有价值的结论，可用于简化求补码电路的设计。

采用补码表示的n位定点整数的表示范围是：-2 n-1～＋(2 n-1-1)。

例如，8位定点整数的补码表示范围是-27～＋(27-1)，即-128～＋127；16位定点整数的补码表示范围是：-215～＋(215-1)，即-32768～＋32767。

至于补码表示的n位定点小数的表示范围，请读者自行求解。

最后，需要补充说明的是：由原码求补码的口诀也同样适合于由补码求原码。因为一个数的原码和它的补码是互为补码的。

无论是寄存器还是内存单元都是定长的，如32位或16位。一个用8位补码表示的定点整数要存入长度更大的存储单元时，需要进行“符号位扩展”，即空出的高位用补码的最高位(符号位)填充。

类似的，ALU也只能对两个等长的操作数进行运算。当两个操作数不等长时，短的操作数在参与运算前，也要做“符号位扩展”。

【例2-5】　(2012年硕士研究生入学统一考试　计算机专业基础综合考试试题)

假定编译器规定int和short类型长度分别为32位和16位，执行下列C语言语句：

unsigned short  x＝65530;

unsigned int  y＝x;

得到y的机器数为＿。

A. 0000 7FFAH B. 0000 FFFAH  C. FFFF 7FFAH  D. FFFF FFFAH

答：x(值为65530)的机器数为1111 1111 1111 1010B。

对于无符号数， unsigned short类型数据赋给unsigned int类型数据，不需要做符号位扩展。则y的机器数为0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1010B＝0000FFFAH。故选B。

3.反码表示法

反码通常作为由原码求补码或者由补码求原码的中间过渡。

对于正数，反码与原码和补码相同，直接在二进制数值前面加上符号位“0”即可。对于负数，反码就是将负号“-”替换成“1”然后将二进制数值逐位取反而得到。

在反码中，零有两个编码：定义为：[＋0]反＝000…00B，[-0]反＝111…111B。

回顾求补码的过程可知：对于一个负数，求反码与求补码的差别仅在于“末位是否加1”。所以，有人称补码为“2的补码(Two抯 Complement)”，称反码为“1的补码(One抯 Complement)”。

4.移码表示法

原码、补码和反码，它们的一个共同特点是将符号作为最高位，与其数值部分一起编码。正号用“0”表示，负号用“1”表示。这就给比较不同符号的数据之间的相对大小，带来麻烦。例如，采用原码时，正数01010101B大于负数11010101B。但是机器认为“1”比“0”大，所以11010101B＞01010101B。可见，机器比较的结果与真实情况不符。

如果给每一个二进制整数的真值加上一个常数2n(n为二进制真值的位数)，使得正数的最高位变成“1”、负数的最高位变成“0”，那么，机器比较得到的两个数之间的相对大小就是其真实的相对大小。这样得到的编码称为“移码(Biased Representation)”。

移码的定义：[X]移＝2n＋X。其中X是n位二进制整数的真值，即-2n ≤X≤2n-1。

由于移码在编码中只是加上了一个常数，并没有改变数据之间原本的大小顺序，所以移码主要用于需要对定点整数(如下一节将要介绍的浮点数的阶码)进行大小比较的场合。

例如：X＝0101011B，[X]移＝27＋X＝10000000B ＋ 0101011B＝ 10101011B；

Y＝- 0101011B，[Y]移＝27＋Y＝10000000B ＋ (-0101011B) ＝ 01010101B；

比较其大小，10101011B＞01010101B，所以X＞Y。

特别的，X＝0000000B，[X]移＝27＋X＝10000000B ＋ 0000000B＝ 10000000B；

Y ＝ -0000000B，[Y]移＝27 ＋ Y ＝ 10000000B ＋ (-0000000B) ＝ 10000000B；

所以，[＋0]移＝[-0]移。在移码中，零(0)有唯一的编码。

部分8位定点整数的移码如表2-1所示。从表中可以看出，同一个真值的移码与其补码的差别仅仅是最高位相反。将补码的符号位取反，即可得到其对应真值的移码。

注意：移码表示仅仅是针对定点整数而言的，定点小数没有移码的定义。