题目：LeetCode 004 Median of Two Sorted Arrays

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

题意：给出两组已经排好序的数组，分为有m和n个整数，找到两个数组按顺序合并之后的中位数，使得复杂度为O(log(m+n)).

首先需明确中位数的概念，分两种情况，当合并后的数组 C[] 中个数T个，当T为奇数时，C++数组从0开始，第T/2+1个数C[T/2]为中位数，当T为偶数时，中位数为第T/2个数C[T/2-1] 和 第T/2+1个数 C[T/2]的和的一半。有下面三种思路。

思路一：利用C++最简单的思路，涉及到排序用快排sort，将两个数组合并后排序找到中位数，复杂度为O((n+m)log(n+m))。

思路二：利用已知的两个数组都有序这个特点，顺次合并排序，复杂度为O(m+n)。另外网上有一种方法也是O(m+n)的算法，用两个指针分别记录个数然后找到中位数，我尝试了一下发现边界条件太多放弃了。

我的代码如下：

class Solution {
public:double findMedianSortedArrays(vector<int>& a, vector<int>& b) {vector<int> c;    int m = a.size(), n = b.size(), i = 0, j =0;while(i < m && j < n){if(a[i] < b[j])c.push_back(a[i++]);else if(a[i] > b[j])c.push_back(b[j++]);else{c.push_back(a[i++]);c.push_back(b[j++]);}}while(i < m) c.push_back(a[i++]);while(j < n) c.push_back(b[j++]);int t = m + n;if(t&1) return c[t/2];return 0.5*(c[t/2]+c[t/2-1]);}
};

思路三：http://blog.csdn.net/doc_sgl/article/details/13081925

这个思路是将求中位数转化成了求两个排好序的数组的第K小的数。求中位数，即令K=T/2 或 K=T/2+1即可。

首先，两个排好序的数组A[], B[]分别有m和n个，求第k小的数。假设合并后的数组为C[]，个数为m+n。

其次，要明确一个规律。将 k 分成两部分 k = pa + pb，也就是说合并后的数组的前k个数是由数组A[]的前pa个数A[0]...A[pa-1]和数组B[]的前pb个数B[0]...B[pb-1]组成。

比较数组A[]中的第pa个数和数组B[]中的第pb个数。

（1）如果A[pa-1] == B[pb-1]，那么合并之后刚刚好第k=pa+pb个数即为A[pa-1]或者B[pb-1]。（递归终点1）

（2）如果A[pa-1] < B[pb-1]，那么数组A中的前pa个数一定不会是数组C的第k个数。证明很简单，反证，假设A[pa-1]为第k个数，则A中有pa-1个数在C[k-1]前面，因为A[pa-1]<B[pb-1]，B中之多有pb-1个数在C[k-1]前面，那么C中最多有(pa-1)+(pb-1)=pa+pb-2=k-2个数在C[k-1]前面，坐标从0开始，矛盾。

这样，我们就可以把数组A中的前pa个数删掉，求A[pa]..A[m-1] 与数组B合并之后的第k-pa小的数。

（3）同理，如果A[pa-1] > B[pb-1]，那么数组B中的前pb个数一定不会是数组C的第k个数。

对于把k拆分成两部分，最简单的思路即二分，取 pa = k/2，但是有可能m < k/2，则此时取pa = m。

这样我们就将这个问题变成了一个同类的子问题，可以用递归的思路来解。递归的话，就需要考虑递归的终点：

（1）如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；

（2）如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；

（3）如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个；

思路看懂了，但是我自己的样例一直都过不了，递归还是学的不好，在一层层递归下去进入子问题时，我懂，中间调试结果也是对的，但是到达递归终点返回之后，进入上一层，我就搞不懂了。

终于过了，原因在于，子问题没有返回值。标红的三个地方出错，递归到达终点之后回返回上一层递归的函数，如果是有返回值的递归函数，加上return会在每一层递归的时候直接函数结束再次返回到上上一层的递归

由于每次删掉前面一半的元素时利用了数组首地址移动，所以写成C的代码如下：

int findKth(int a[], int m, int b[], int n, int k)
{int pa, pb;if(m > n) return findKth(b, n, a, m, k);if(m == 0) return b[k-1];if(k == 1) return a[0] < b[0] ? a[0] : b[0];pa = k/2 < m ? k/2 : m; pb = k-pa;if(a[pa-1] < b[pb-1])return findKth(a+pa, m-pa, b, n, k-pa);else if(a[pa-1] > b[pb-1])     return findKth(a, m, b+pb, n-pb, k-pb);return a[pa-1];
}double findMedianSortedArrays(int *nums1, int m, int *nums2, int n)
{int t = m+n;if(1&t) return findKth(nums1, m, nums2, n, t/2+1);return 0.5*( findKth(nums1, m, nums2, n, t/2+1) + findKth(nums1, m, nums2, n, t/2) );}

然后跟同学请教发现如果是C++利用vector没有办法直接利用数组首地址移动时，就需要记录vector<int>的开始位置，然后就能O(1)访问vector了。代码如下：

class Solution {
public:int findKth(vector<int> a, int m, vector<int> b, int n, int k){int lena = a.size() - m, lenb = b.size() - n;if(lena > lenb) return findKth(b, n, a, m, k);if(lena == 0) return b[n+k-1];if(k == 1) return min(a[m], b[n]);int pa = min(k/2, lena), pb = k - pa;int ida = m + pa - 1, idb = n + pb - 1;if(a[ida] < b[idb]) return findKth(a, m+pa, b, n, k-pa);else if(a[ida] > b[idb]) return findKth(a, m, b, n+pb, k-pb);return a[ida];}double findMedianSortedArrays(vector<int>& a, vector<int>& b) {int t = a.size() + b.size();if(0x1&t) return findKth(a, 0, b, 0, t/2+1);return 0.5*(findKth(a, 0, b, 0, t/2) + findKth(a, 0, b, 0, t/2+1));}
};