差分约束问题 ---- 2019ccpc哈尔滨A. Artful Paintings[二分+差分约束+建图剪枝]

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题目大意:

有N≤3e3N≤3e3N≤3e3个格子，你可以任意给每个格子染色，但是要满足M≤3e3M≤3e3M≤3e3限制条件，限制条件有两种类型：

区间[l,r][l,r][l,r]中被染色的格子数量不少于KKK。
区间[l,r][l,r][l,r]外被染色的格子数量不少于KKK。
在满足所有限制条件下求染色格子数量的最小值。

题解思路:

1.首先我们知道全部涂完肯定是可以的，现在要求的是最小值，那么我们第一反应就是二分嘛！
2.上面对于区间的限制，这很容易联想到差分约束系统。
我们假设SumiSum_iSumi是第i个点前面涂了多少个颜色的格子, midmidmid是我们涂了多少个格子。
那么我们就有如下不等式:
对于限制1:
Sumr−Suml−1≥KSum_r-Sum_{l-1}\geq KSumr−Suml−1≥K
对于限制2:
Sumr−Suml−1≤mid−KSum_r-Sum_{l-1}\leq mid - KSumr−Suml−1≤mid−K

还有隐藏限制就是Sumi−1≤SumiSum_{i-1} \leq Sum_iSumi−1≤Sumi
打模拟赛的时候忘记的条件:Sumi−Sumi−1≤1Sum_i-Sum_{i-1}\leq1Sumi−Sumi−1≤1
因为这两个隐藏条件，这个图是联通的。
那么很明显这不就是可以用差分约束解决吗？

但是这里直接跑是会T的，我们要根据建的图进行优化。

通过观察建图我们知道，在跑spfa的时候，如果某个点的distdistdist数组变成负数了，那么一点存在负环，因为假如l−>r的最短路是负数，r−>l是0，那么这里就可以构成负环了！l->r的最短路是负数，r->l是0，那么这里就可以构成负环了！l−>r的最短路是负数，r−>l是0，那么这里就可以构成负环了！

加了这个优化就可以过了

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e4 + 10;
int vis[maxn];
bool used[maxn];
vector<pair<int, int> > g[maxn];
int dist[maxn];
bool inQue[maxn];
queue<int> que;
int n, m1, m2;void init(int n) {for(int i = 0; i <= n + 1; i++) {g[i].clear();dist[i] = INF;vis[i] = 0;used[i] = 0;inQue[i] = 0;}
}bool spfa(int src) {//模板dist[src] = 0;while (!que.empty()) que.pop();que.push(src);inQue[src] = true;while (!que.empty()) {int u = que.front();used[u] = 1;que.pop();for (int i = 0; i < g[u].size(); i++) {if (dist[u] + g[u][i].second < dist[g[u][i].first]) {dist[g[u][i].first] = dist[u] + g[u][i].second;if( dist[g[u][i].first] < 0) return false;if (!inQue[g[u][i].first]) {inQue[g[u][i].first] = true;vis[g[u][i].first]++;if(vis[g[u][i].first] > n) return false;que.push(g[u][i].first);}}}inQue[u] = false;}return true;
}struct edge {int l, r, w;
};
vector<edge> ed;
void build(int n, int mid) {init(n);for(int i = 0; i < m1; i++) {int l = ed[i].l, r = ed[i].r, w = ed[i].w;g[r].push_back({l - 1, -w});}for(int i = m1; i < m1 + m2; i++) {int l = ed[i].l, r = ed[i].r, w = ed[i].w;g[l - 1].push_back({r, mid - w});}for(int i = 1; i <= n; i++) {g[i].push_back({i - 1, 0});}for(int i = 1; i <= n; i++) {g[i - 1].push_back({i, 1});}g[n].push_back({0, -mid});g[0].push_back({n, mid});
}int main() {int t;cin >> t;while(t--) {ed.clear();cin >> n >> m1 >> m2;for(int i = 0; i < m1 + m2; i++) {int l, r, w;cin >> l >> r >> w;ed.push_back({l, r, w});}int l = 0, r = n;while(l <= r) {int mid = (l + r) / 2;build(n, mid);//建图if(spfa(0)) {r = mid - 1;} else {l = mid + 1;}}cout << l << endl;}
}