LeetCode01_二分法专题

一.二分法基本思想

二分法做题流程(重要)：
- 1.确定二分的边界
- 2.编写二分的代码框架
- 3.设计一个check(性质)
- 4.判断一下区间如何更新
- 5.如果更新方式写的是l = mid, r = mid - 1，那么就在计算mid的时候加上1

二.二分法典型习题

1.LeetCode-69 求解Sqrt(x)

解题思路：因为求的是sqrt(x)，则x的取值范围是[0, x]，因此在此区间中的所有点t均符合性质：t^2 <= x即t <= sqrt(x)
。因此，寻找的是分界点2，采用模板2。

class Solution {
public:int mySqrt(int x) {int l=0, r = x;while(l < r){int mid = l + (long long)r + 1 >> 1;if (mid <= x / mid) l = mid;  // mid * mid <= x;这样写法不好，会出现乘法溢出else r = mid - 1;}return r;}
};

2.LeetCode-35 搜索插入位置

解题思路：找到大于等于插入元素x的第一个位置，即t >= x，符合模板1

class Solution {
public:int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {if(nums.empty() || nums.back() < target) return nums.size();  // nums.back() < target:插入的数字比当前数组中所有元素都大，直接返回数组的长度int l = 0, r = nums.size() - 1;while(l < r){int mid = l + r >> 1;if(nums[mid] >= target) r = mid;else l = mid + 1;}return r;}
};

3.LeetCode-34 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

解题思路：使用两次二分算法!确定起始位置：使用性质x >= target来划分整个区间；确定终止位置：使用性质x <= target来划分整个区间。

class Solution {
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {if(nums.empty()) return {-1,-1};// 确定起始位置int l = 0, r = nums.size() - 1;while(l < r){int mid = l + r >> 1;if(nums[mid] >= target) r = mid;else l = mid + 1;}if(nums[r] != target) return {-1,-1};  // 二分出来的起始位置不等于target，则数组中不存在target这个数int start = r;// 确定终止位置l = 0, r = nums.size() -1 ;while(l < r){int mid = l + r + 1 >> 1;if(nums[mid] <= target) l = mid;else r = mid - 1;}int end = r;return {start, end};}
};

4.LeetCode-74 搜索二维矩阵

解题思路：给二维矩阵的每个元素进行编号,从0到n*m-1为止，根据题目中的规定，可以将二维矩阵看成是一个严格单调递增的一维数组。选择划分区间的性质x >= target。关键是如何将二维矩阵转换成一维数组，转换公式是j矩阵元素a_ij对应的行下标i=[k/m],列下标j=k%m;其中k是一维数组中的下标。
```
class Solution {
public:bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {if(matrix.empty() || matrix[0].empty()) return false;int n = matrix.size(), m = matrix[0].size();int l = 0, r = n * m - 1;while(l < r){int mid = l + r >> 1;if(matrix[mid / m][mid % m] >= target) r = mid;else l = mid + 1;}if(matrix[r / m][r % m] != target) return false;return true;}
};
```

5.LeetCode-153 寻找旋转排序数组中的最小值

解题思路：利用性质target <= nums.back()，可以将区间划分成两段，前一段中所有的元素都大于nums.back(),后一段中所有的元素都符合上面这个性质。

class Solution {
public:int findMin(vector<int>& nums) {int l = 0, r = nums.size();while(l < r){int mid = l + r >> 1;if(nums[mid] <= nums.back()) r = mid;else l = mid + 1;}return nums[r];}
};

6.LeetCode-33 搜索旋转排序数组

解题思路：根据上一题的思路，先利用性质target <= nums.back()确定给定的目标值存在于左边区间还是右边区间。接着利用二分法返回目标值所对应的下标。

class Solution {
public:int search(vector<int>& nums, int target) {if(nums.empty()) return -1;int l = 0, r = nums.size() - 1;// 首先找到区间中的最小值，将整个区间划分成左右两段while(l < r){int mid = l + r >> 1;if(nums[mid] <= nums.back()) r = mid;else l = mid + 1;}if(target <= nums.back()) r = nums.size() - 1;   // target在后一段区间中// 否则target在前一段区间中else l = 0, r--;while(l < r){int mid  = l + r >> 1;if(nums[mid] >= target) r = mid;else l = mid + 1;}if(nums[l] == target) return l;return -1;}
};

7.LeetCode-278 第一个错误的版本

解题思路：找到第一个错误的版本，则后面的错误版本号一定是大于第一个个错误的版本号，因此性质取的是nums[mid] >= target。

// Forward declaration of isBadVersion API.
bool isBadVersion(int version);class Solution {
public:int firstBadVersion(int n) {int l = 1, r = n;while(l < r){int mid = (long long)l + r >> 1;  // long long防止溢出if(isBadVersion(mid)) r = mid;else l = mid + 1;}return r;}
};

8.LeetCode-162 寻找峰值

解题思路：属于其他5%的情况，不具有区间的二段性性质。最快的方法时间复杂度是O(logn)。经过分析可知，答案一定在区间当中的。然后，计算区间的中点mid,然后判断mid与mid+1之间的关系，如果nums[mid] < nums[mid+1],则区间[mid+1,r]中一定存在一个答案。反之果nums[mid] > nums[mid+1]，同理。
```
class Solution {
public:int findPeakElement(vector<int>& nums) {int l = 0, r = nums.size() - 1;while(l < r){int mid = l + r >> 1;if(nums[mid] > nums[mid + 1]) r = mid;else l = mid + 1;}return r;}
};
```

9.LeetCode-287 寻找重复数

解题思路：根据抽屉原理+二分法即可，分别统计[l,mid]和[mid,r]中实际的元素个数(苹果个数)，然后因为[l,mid]中一共可以存放的元素个数是mid-l+1(抽屉个数)；[mid,r]中一共可以存放的元素个数是r-mid。比较苹果个数和抽屉个数的大小，可以确定重复元素在哪个区间中，每次可以将区间缩小为原来的一半。
```
class Solution {
public:int findDuplicate(vector<int>& nums) {// 抽屉原理 + 二分法可以解决int l = 1, r = nums.size() - 1;while(l < r){int mid = l + r >> 1;int cnt = 0;for(auto x: nums)if(x >= l && x <= mid)cnt++;  // 苹果个数cntif(cnt > mid - l + 1) r = mid;  // 左半边区间中抽屉个数mid - l + 1else l = mid + 1;}return r;}
};
```

10.LeetCode-275 H指数 II

解题思路：找到一个最大的数h，使得数组中至少存在h个数都大于等于h。首先确定边界，h一定是小于等于n(因为当h大于n时假设为n+1，则是找不到最大的数n+1，使得数组中至少存在n+1个数都大于等于n+1)，h一定是大于等于0。划分区间性质是：找到一个最大的数h-1，使得数组中至少存在h-1个数都大于等于h-1，即[0,h]条件成立，[h+1,n]条件不成立，n表示元素总数。
```
class Solution {
public:int hIndex(vector<int>& nums) {int l = 0, r = nums.size();while(l < r){int mid = l + r + 1 >> 1;if(nums[nums.size() - mid] >= mid) l = mid;else r = mid - 1;}return l;}
};
```