(C++)高精度整数的存储、读入、比较和四则运算

1. 存储

2. 读入

3. 比较大小

4. 加法

5. 减法

6. 高精度整数和低精度整数的乘法

7. 高精度整数除以低精度整数

高精度整数，又称大整数，其含义就是用基本数据类型无法存储其精度的整数。如：10进制下有着1000个数位的整数。

低精度整数，就是可以用基本数据类型存储的整数。

1. 存储

采用整型数组顺位存储，即整数高位存储在数组高位。为了方便随时获取长度，因此定一个int len和int []组成结构体bign(取自big number)。

同时在结构体中使用构造函数，进行初始化。

struct bign{int d[1000];int len;bign(){memset(d,0,sizeof(d));len = 0;}
};

2. 读入

作为字符串读入，再把字符串另存至bign结构体。

由于是顺位存储，因此字符串要逆着输进结构体数组，同时记得 -‘0’ 将字符转化为整数

下面是将字符串转化为bign结构体的函数

bign change(char s[]){bign bg;bg.len = strlen(s);for(int i=0;i<bg.len;i++){bg.d[i] = s[bg.len-1-i] - '0';}return bg;
}

3. 比较大小

原理：先比较两个大整数的长度，更大的直接胜出；从高位到低位逐位比较大小，直至出现某一位不相等，那一位上更大胜出。

结果为int型，如果第一个大于第二个，返回1，等于返回0，小于返回-1。

int compare(bign a,bign b){if(a.len>b.len)return 1;else if(a.len<b.len)return -1;else{for(int i=a.len-1;i>=0;i--){if(a.d[i]>b.d[i])return 1;else if(a.d[i]<b.d[i])return -1;}return 0;}
}

4. 加法

原理：从低位到高位逐位相加，每一个和的个位保留在原位，十位进到更高位。

c = a + b (a>=0,b>=0 )

注意：遍历的过程中位数取a和b中位数更多的那个，结果可能超过a和b的长度。

bign add(bign a,bign b){bign c;int carry = 0;//进位 int sum;for(int i=0;i<a.len||i<b.len;i++){sum = a.d[i] + b.d[i] + carry;c.d[c.len++] = sum%10;carry = sum/10;}//对于高于a和b的那个位数是否有数字取决于进位的最后值if(carry)c.d[c.len++] = carry;   return c;
}

注意，这里的加法只适用于两者都是非负的。如果有一个是负的，应该采用高精度减法，如果两个都是负的，就先转化成正的相加最后加上负号。

5. 减法

原理：从低位到高位逐位相减，不够的向上一位借。最后对结果的长度进行纠正，从最高位开始，如果那一位上的数字是0，那么长度减一，但是长度不会为0至少为1。

不用担心向高位借但是高位也是0，因为短暂变成-1之后在下一轮比较时会向更高位借。

c = a - b (a>=b>=0)

bign sub(bign a,bign b){bign c;for(int i;i<a.len||i<b.len;i++){if(a.d[i]<b.d[i]){a.d[i+1] --;a.d[i] += 10;}c.d[c.len++] = a.d[i]-b.d[i];}while(c.d[c.len-1]==0&&c.len>1){//矫正位数，高位是0就长度减1，但是长度至少为1 c.len --;}
}

注意：这里要求被减数不小于减数，如果不满足要求，需要先把两个数进行交换。

6. 高精度整数和低精度整数的乘法

得到的自然是高精度整数。

原理：bign从低位开始逐位和int的整体相乘，得到的结果个位保留在本位，其余高位(不是十位)进到下一步运算。

bign c = bign a * int b

bign multi(bign a,int b){bign c;int carry = 0;int product;//乘积for(int i;i<a.len;i++){product = a.d[i]*b + carry;c.d[c.len++] = product%10;carry = product/10;}while(carry){//注意此处和加法的区别 c.d[len++] = carry % 10;carry /= 10;} return c;
}

7. 高精度整数除以低精度整数

得到的是高精度整数(低精度实际上可以视为高精度的子集)。

原理：bign从高位到低位逐位对int进行除操作，除之前余数*10加上当前位(开始把余数写成引用“引用”的形式传入是为了直接对原变量进行修改，最后得到的余数也就是结果)，如果不够除(当前位已经被加到余数中)，则当前位记为0，够除则将除得的商留在当前为，除得的余数用来更新余数。

(a + r)/b = c 余数r(存到传进的作为余数的变量r)

bign divide(bign a,int b,int& r){//调用的时候r是int类型的bign c;c.len = a.len;for(int i = c.len-1;i>=0;i--){r = r*10 + a.d[i];if(r<b)c.d[i]=0;else{c.d[i] = r/b;r = r%b;}}//矫正位数while(c.d[c.len-1]==0&&c.len>1){//矫正位数，高位是0就长度减1，但是长度至少为1 c.len --;}return c;
}

summary:

加和乘最后需要根据进位有无增加长度(新增位上当然要有数值)

减和除最后需要根据高位有无减少长度(但是边界是长度至少为1)