一.二叉排序树定义

二叉排序树(Binary Sort Tree)或者是一棵空树；或者是具有下列性质的二叉树：

我们知道一颗基本的二叉树他们都需要满足一个基本性质--即树中的任何节点的值大于它的左子节点，且小于它的右子节点。所有结点只有左子树叫左斜树

左右子树也都是二叉排序树。

由图9.4 可以看出，对二叉排序树进行中序遍历，便可得到一个按关键码有序的序列，因此，一个无序序列，可通过构一棵二叉排序树而成为有序序列。

二.二叉排序树查找过程

从其定义可见，二叉排序树的查找过程为：

若查找树为空，查找失败。

查找树非空，将给定值kx 与查找树的根结点关键码比较。

若相等，查找成功，结束查找过程，否则，

a．当给kx 小于根结点关键码，查找将在以左子女为根的子树上继续进行，转①

b．当给kx 大于根结点关键码，查找将在以右子女为根的子树上继续进行，转①

以二叉链表作为二叉排序树的存储结构，则查找过程算法程序描述如下：

typedef struct NODE

{ ElemType elem; /*数据元素字段*/

struct NODE *lc,*rc; /*左、右指针字段*/

}NodeType; /*二叉树结点类型*/

【算法9.4】

int SearchElem(NodeType *t,NodeType **p,NodeType **q,KeyType kx)

{ /*在二叉排序树t 上查找关键码为kx 的元素，若找到，返回1，且q 指向该结点，p 指向其父结点；*/

/*否则，返回0，且p 指向查找失败的最后一个结点*/int flag=0; *q=t;while(*q) /*从根结点开始

查找*/{ if(kx>(*q)->elem.key) /*kx 大于当前结点*q 的元素关键码*/

{ *p=*q; *q=(*q)->rc; } /*将当前结点*q 的右子女置为新根*/

else

{ if(kxelem.key) /*kx 小于当前结点*q 的元素关键码*/

{ *p=*q; *q=(*q)->lc;} /*将当前结点*q 的左子女置为新根*/

else {flag=1;break;} /*查找成功，返回*/

}

}/*while*/

return flag;

}

三.二叉排序树插入操作和构造一棵二叉排序树

先讨论向二叉排序树中插入一个结点的过程：设待插入结点的关键码为kx，为将其插入，先要在二叉排序树中进行查找，若查找成功，按二叉排序树定义，待插入结点已存在，不用插入；查找不成功时，则插入之。因此，新插入结点一定是作为叶子结点添加上去的。

构造一棵二叉排序树则是逐个插入结点的过程。

【例9.3】记录的关键码序列为：63，90，70，55，67，42，98，83，10，45，58，则构造一棵二叉排序树的过程如下：

【算法9.5】

int InsertNode (NodeType **t,KeyType kx)

{ /*在二叉排序树*t 上插入关键码为kx 的结点*/

NodeType *p=*t,*q,*s; int flag=0;

if(!SearchElem(*t,&p,&q,kx)); /*在*t 为根的子树上查找*/

{ s=(NodeType *))malloc(sizeof(NodeType)); /*申请结点，并赋值*/

s->elem.key=kx;s->lc=NULL;s->rc=NULL;

flag=1; /*设置插入成功标志*/

if(!p) t=s; /*向空树中插入时*/

else

{ if(kx>p->elem.key) p->rc=s; /*插入结点为p 的右子女*/

else p->lc=s; /*插入结点为p 的左子女*/

}

}

return flag;

}

四.二叉排序树删除操作

1．在具有 n 个叶子结点的严格二叉树中，结点总数为( ) a．2n+1 b．2n c．2n-1 2．除根结点外，树上每个结点( ) a．可有任意多个孩子、任意多个双亲 b．可有任意多个孩子、一个双亲 c．可有一个孩子、任意多个双亲 d．只有一个孩子、一个双亲 3．具有 100 个结点的二叉树中，若用二叉链表存储，其指针域部分用来指向结点的左、右孩子，其余( )个指针域为空。合并思想是：程序需要3个指针：pa、pb、pc，其中pa，pb分别指向la表与lb表中当前待比较插入的结点，pc 指向lc表中当前最后一个结点。循环双链表的构造源自双链表，即将终端结点的nnext指针指向链表中第一个结点，将链表中第一个结点的prior指针指向终端结点。

*p 结点为叶结点，由于删去叶结点后不影响整棵树的特性，所以，只需将被删结点的双亲结点相应指针域改为空指针。如图9.6。

*p 结点只有右子树pr 或只有左子树pl，此时，只需将pr 或pl 替换*f 结点的*p 子树即可。如图9.7。

*p 结点既有左子树Pl 又有右子树Pr，可按中序遍历保持有序进行调整。

设删除*p 结点前，中序遍历序列为：

P 为F 的左子女时有：…，Pl 子树，P，Pj ，S 子树，Pk，Sk子树，…，P2，S2子树，P1，S1子树，F，…

P 为F 的右子女时有：…二叉排序树是，F，Pl 子树，P，Pj ，S 子树，Pk，Sk子树，…，P2，S2子树，P1，S1子树，…

则删除*p 结点后，中序遍历序列应为：

P 为F 的左子女时有：…，Pl 子树，Pj ，S 子树，Pk，Sk子树，…，P2，S2子树，P1，S1子树，F，…

P 为F 的右子女时有：…，F，Pl 子树，Pj ，S 子树，Pk，Sk子树，…，P2，S2子树，P1，S1子树，…

有两种调整方法：

直接令pl 为*f 相应的子树，以pr 为pl 中序遍历的最后一个结点pk 的右子树；

令*p 结点的直接前驱Pr 或直接后继(对Pl子树中序遍历的最后一个结点Pk)替换*p 结点，再按⒉的方法删去Pr 或Pk。图9.8 所示的就是以*p 结点的直接前驱Pr 替换*p。

【算法9.6】

int DeleteNode(NodeType **t,KeyType kx)

{ NodeType *p=*t,*q,*s,**f;

int flag=0;

if(SearchElem(*t,&p,&q,kx));

{ flag=1; /*查找成功，置删除成功标志*/

if(p= =q) f=&(*t); /*待删结点为根结点时*/

else /*待删结点非根结点时*/

{ f=&(p->lc); if(kx>p->elem.key) f=&(p->rc);

} /*f 指向待删结点的父结点的相应指针域*/

供选择的答案： a：①是特殊的树②不是树的特殊形式③是两棵树的总称④是只有二个根结点的树形结构 b：①左子结点②右子结点③左子结点或者没有右子结点 ④兄弟 c～d： ①最左子结点②最右子结点③最邻近的右兄弟④最邻近的左兄弟⑤最左的兄弟⑥最右的兄弟e：①o(n)②o(n)③o(log2n)④o(log2n) 15、每一棵树都能唯一地转换为它所对应的二叉树，树的这种二叉树表示对树的运算带来很大的好处。用链式存储结构来表示二叉树，一个结点至少由3个域组成，即数据域、左子结点域和右子结点域(如图1所示)。树和森林都可以转换为二叉树，二者的不同是:树转换成的二叉树,其根结点必然无右孩子，而森林转换后的二叉树，其根结点有右孩子。

else

供选择的答案： a：①是特殊的树②不是树的特殊形式③是两棵树的总称④是只有二个根结点的树形结构 b：①左子结点②右子结点③左子结点或者没有右子结点 ④兄弟 c～d： ①最左子结点②最右子结点③最邻近的右兄弟④最邻近的左兄弟⑤最左的兄弟⑥最右的兄弟e：①o(n)②o(n)③o(log2n)④o(log2n) 15、每一棵树都能唯一地转换为它所对应的二叉树，树的这种二叉树表示对树的运算带来很大的好处。用链式存储结构来表示二叉树，一个结点至少由3个域组成，即数据域、左子结点域和右子结点域(如图1所示)。树和森林都可以转换为二叉树，二者的不同是:树转换成的二叉树,其根结点必然无右孩子，而森林转换后的二叉树，其根结点有右孩子。

else /*既有左子树又有右子树*/

{ p=q->rc;s=p;

while(p->lc) {s=p;p=p->lc;}/*在右子树上搜索待删结点的前驱p*/

*f=p;p->lc=q->lc; /*替换待删结点q，重接左子树*/

if(s!=p)

{ s->lc=p->rc; /*待删结点的右子女有左子树时，还要重接右子树*/

p->rc=q->rc;

}

}

}

free(q);

}

return flag;

}

在数据结构中，已知一棵二叉树的先序序列和中序序列，可唯一确定此二叉树。已知一棵二叉树的前序序列和中序序列，构造该二叉树的过程如下：。若已知一棵二叉树的前序序列是befcgdh，中序序列是febgchd，则它的后序序列必是___d___,而且可得该二叉树所表示的树的先根次序序列是___b___。

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