一、渐进上界

g(n)\rm g(n)g(n) 是 f(n)\rm f(n)f(n) 的渐进上界 :

存在 c\rm cc , 并且存在 N\rm NN , 使得任何 n\rm nn , 并且 n≥N\rm n \geq Nn≥N , 则有 f(n)≤cg(n)\rm f(n) \leq cg(n)f(n)≤cg(n) ,

则称 g(n)\rm g(n)g(n) 是 f(n)\rm f(n)f(n) 的渐进上界 ;

符号化表示 :

∃c>0∃N∀n(n≥N⇒f(n)≤cg(n))\rm \exist c > 0 \ \exist N \ \forall n ( n \geq N \Rightarrow f(n) \leq cg(n) )∃c>0 ∃N ∀n(n≥N⇒f(n)≤cg(n))

存在 N\rm NN , 使得任何 n\rm nn 并且 n≥N\rm n \geq Nn≥N ,

∃N∀n(n≥N)\exist N \ \forall n ( n \geq N )∃N ∀n(n≥N)

上述表述 , 表示当 n\rm nn 充分大 ;

∃N∀n(n≥N⇒f(n)≤cg(n))\rm \exist N \ \forall n ( n \geq N \Rightarrow f(n) \leq cg(n) )∃N ∀n(n≥N⇒f(n)≤cg(n)) 整体的含义如下 ,

尽管 f(n)\rm f(n)f(n) 不一定小于等于 cg(n)\rm cg(n)cg(n) , 当 n\rm nn 充分大时 , 一定有 f(n)≤cg(n)\rm f(n) \leq cg(n)f(n)≤cg(n) , 这是一个趋势 ,

称 g(n)\rm g(n)g(n) 是 f(n)\rm f(n)f(n) 的渐进上界 ;

在渐近分析中 , 常数 c\rm cc 一般忽略不计 , 其大小是 2,32 , 32,3 或者几亿都不重要 ;

二、大 O 记号

f(n)=O(g(n))\rm f(n) = O(g(n))f(n)=O(g(n))

三、常用的渐进上界

多项式上界 : nc\rm n^cnc , 如 :

① n2=O(n2)\rm n^2 = O(n^2)n2=O(n2)

② 3n2+2n+1=O(n2)\rm 3n^2 + 2n + 1 = O(n^2)3n2+2n+1=O(n2) , 忽略低阶项 , 系数项 ;

③ 4n3+2n2+n+3=O(n3)\rm 4n^3 + 2n^2 + n + 3 = O(n^3)4n3+2n2+n+3=O(n3) , 忽略低阶项 , 系数项 ;

指数级上界 : 2nc\rm 2^{n^c}2nc , 如 :

① logn=O(nx)(x>0)\rm log n = O(n^x) \ (x > 0)logn=O(nx) (x>0)

大 O\rm OO 记号运算 :

O(n)+O(n2)=O(n2)\rm O(n) + O(n^2) = O(n^2)O(n)+O(n2)=O(n2) , 忽略低阶项 ;

渐进上界表示符号会忽略系数影响 , 忽略低阶的项 ;

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一、渐进上界

二、大 O 记号

三、常用的渐进上界

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