原标题：水仙花数

近日，笔者的学生问了笔者这样一道题：

求满足的所有三位数，以及满足的所有四位数。

从解题角度来说，这题目做起来是比较繁琐的，但是这些数具有的奇妙性质，值得我们来对此加以研究

1³+5³+3³=1+125+27=153

3³+7³+0³=27+343+0=370

3³+7³+1³=27+343+1=371

4³+0³+7³=64+0+343=407

14+64+34+44=1634

84+24+04+84=8208

94+44+94+74=9497

55+45+75+45+85=54748

56+46+86+86+36+46=548834

这些等于各位数字n次方之和的n位数，我们称其为自幂数或者超完全数字不变数(pluperfect digital invariant, PPDI)。

由于其性质的形式，从自身出发，又回到了自身，由这种只钟爱自己的性质，所以我们又称其为自恋数(narcissistic number)。

在英语中，自恋(narcissistic)一词来源于希腊神话人物纳西索斯(Narcissus)：

美少年纳西索斯(Narcissus)是河神(Cephissus)与林间仙女(Liriope)的儿子。他的出生伴随着一个来自先知Tiresias的奇特预言。预言说，如果纳西索斯想要长命百岁，那么他就决不能见到自己的影像。于是，带着这样一个预言，纳西索斯渐渐长大，成为全希腊最俊美的男子。无数的少女对他一见倾心，可他却无情地拒绝了所有的人。

伊可(Echo)本来也是一个美丽的山中仙女，但纳西索斯仍然像拒绝其他人一样拒绝了她。伊可十分伤心，整日在幽静的山林中流泪徘徊，不吃不喝，很快地消瘦下去。最后，她的身体终于完全消失，只剩下忧郁而轻柔的声音在山谷中回荡。无论是何人对她呼喊，她都只重复对方的话语，从不作自己的回答。此后，希腊人便用伊可的名字(Echo)来表示“回声”。

众神愤怒了，决定让纳西索斯去承受痛苦：爱上别人，却不能以被爱作为回报。有一天纳西索斯无意间来到一个池塘边。池塘的水清澈明净，如同一面光洁的镜子。纳西索斯俯身鞠水，却见到了自己在水中的倒影—— 一个比他以前见过的任何人都更加俊秀的少年。他疯狂地爱上了他，无数次将手伸入水中，想要拥抱自己的爱人，可每一次的水波荡漾都使他重新陷入绝望。他再也无法忍受这种痛苦，终于跳入池塘，溺水而死。出于同情，众神让他的身体化作一朵晶莹剔透，出水而立的水仙花(narcissus)。

于是，前辈研究者们给这种数起了一个好听的名字：水仙花数

显然，水仙花数的个数是有限个的，最先给出证明的是伯纳德

对于n位数：

设

于是10n-1≤Pn≤9×n9

显然，两个等号不可能同时成立

10n-1≤n≤9n

进而得到n≤60

即不存在60位以上的水仙花数

(当然，证明过程需要用到对数和函数性质，比较容易得到最后的结论，在此笔者不再加以赘述，有兴趣的读者可以自行证明)。

后来施瓦茨和纳尔逊又先后改进了伯纳德的结果，将上界进一步降低为n≤58。

当然，即使我们得到了n≤58的结论，想要一一求出所有的水仙花数仍然是一件很麻烦的事情，以前，找寻水仙花数的纪录一直由美国数学家纳尔逊所保持，他找到了一个10位的水仙花数：4679307774，由于在求解思路上的限制，对水仙花数的探索陷入了一个巨大的瓶颈。

然而，在21世纪，中国国防科技大学的刘江宁先生提出了一种新的思路：

一、，我们往往习惯从左边入手处理问题，而实际上，从右边入手处理问题会更加的简单。

二、转化问题，设中有个k0个0、k1个1、k2个2、……、k9个9，那么显然，k0+k1+k2+……+k9个9，显然在k0个0、k1个1、k2个2、……、k9个9所组成的所有n位数中，至多只有一个水仙花数，所以，我们通过对新的不等方程自然数解的寻找来减少在寻找水仙花数中的枚举次数。

三、当n充分大时，a1、a2、……、an中会出现很多个9，对此，刘先生提出了最大值次数限定策略，例如，当n=60，他证明了9至少出现了56次，这样就能大大减少较大时的可能情况，从而减少计算量。

根据上述思路，刘先生编制了相应的计算机程序，彻底解决了水仙花数的寻求问题，十进制中，水仙花数一共有88个，最大的是两个39位数。

然而，虽然刘先生解决了水仙花数的问题，但是我们仍然没有停下探索的脚步，我们发现，有一些数具有一些类似于水仙花数的性质，例如：

89=81+92

135=11+22+33

1676=11+62+73+64

or

13+33+63=224

23+43+43=136

数学无止境

我们永远不会停下探索的脚步

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