非监督异常点检测算法总结

一、基于密度

1) d(p,o)：两点p和o之间的距离；

2) k-distance：第k距离

对于点p的第k距离dk(p)定义如下：

p的第k距离，也就是距离p第k远的点的距离，如图。

3) k-distance neighborhood of p：第k距离邻域

点p的第k距离邻域Nk(p)，就是p的第k距离即以内的所有点，包括第k距离。

因此p的第k邻域点的个数 |Nk(p)|≥k。 上图中，p的第k邻域就是圆里面的点，包括边界上的点。

4) reach-distance：可达距离

点o到点p的第k可达距离定义为：

reachdistancek(p,o)=max{k−distance(o),d(p,o)}

也就是，点o到点p的第k可达距离，至少是o的第k距离，或者为o、p间的真实距离。

这也意味着，离点o最近的k个点，o到它们的可达距离被认为相等，且都等于dk(o)。

如图，o1到p的第5可达距离为d(p,o1)，o2到p的第5可达距离为d5(o2)。

5) local reachability density：局部可达密度

点ｐ的局部可达密度表示为：

lrdk(p)=1/(∑o∈Nk(p)reach−distk(p,o)|Nk(p)|)

表示点p的第k邻域内所有点到p的可达距离的平均数的倒数。 （其实也就是用平均举例的倒数作为密度）

这个值的含义可以这样理解，首先这代表一个密度，密度越高，我们认为越可能属于同一簇，密度越低，越可能是离群点。如果p和周围邻域点是同一簇，那么可达距离越可能为较小的dk(o)，导致可达距离之和较小，密度值较高；如果p和周围邻居点较远，那么可达距离可能都会取较大值d(p,o)，导致密度较小，越可能是离群点。

6) local outlier factor：局部离群因子 （score）

点p的局部离群因子表示为：

LOFk(p)=∑o∈Nk(p)lrdk(o)lrdk(p)|Nk(p)|=∑o∈Nk(p)lrdk(o)|Nk(p)|/lrdk(p)

表示点p的邻域点Nk(p)的局部可达密度与点p的局部可达密度之比的平均数。

如果这个比值越接近1，说明p的其邻域点密度差不多，p可能和邻域同属一簇；如果这个比值越小于1，说明p的密度高于其邻域点密度，p为密集点；如果这个比值越大于1，说明p的密度小于其邻域点密度，p越可能是异常点。

主要是通过比较每个点p和其邻域点的密度来判断该点是否为异常点，如果点p的密度越低，越可能被认定是异常点。至于密度，是通过点之间的距离来计算的，点之间距离越远，密度越低，距离越近，密度越高，完全符合我们的理解。而且，因为lof对密度的是通过点的第k邻域来计算，而不是全局计算，因此得名为“局部”异常因子，这样，对于分散度不同的聚类，lof完全可以正确处理，而不会因为数据密度分散情况不同而错误的将正常点判定为异常点。

二、基于矩阵分解

思路：选取特征主成分，将原数据映射到主成分坐标系实现降维。再把降维后的数据映射回原数据的坐标系

主成分：数据差异性大的方向

先计算不同特征的方差，第一个主成分方向就是方差最大的特征的方向，方差从大到小排列取前N，构成N维新坐标系，

根据重构之后的数据和原数据比较，得到误差score作为异常点的评价分数

三、Replicator Neural Network

输入和输出是一样的，都是每条数据的特征值

整个流程相当于把数据先压缩再恢复。

在神经网络传输的时候，中间使用了 tanh 函数和 sigmoid 函数。这个神经网络是训练一个从输入层到输出层的恒等函数（identity mapping），传输的时候从输入层开始压缩数据，然后到了第二个隐藏层的时候开始解压数据。训练的目标就是使得整体的输出误差足够小，整体的误差是由所有的样本误差之和除以样本的个数得到的。

第二层和第四层的激活函数都是tanh

第三层是一个阶梯函数，图像如下

参考资料：

https://zr9558.com/2016/06/23/outlierdetectiontwo/

https://zr9558.com/2016/06/12/replicator-neural-networks/