求 A^B mod C. (1=A,C=1000000000,1=B=10^1000000).（fzu1759，hdu3221，hdu4335）

题目：http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1759

也算是快速幂的一题了，只不过这里的指数B特别大。需要用到一个公式：

A^x = A^(x % Phi(C) + Phi(C)) (mod C)，其中x≥Phi(C)

具体证明可见ac大神博客：http://hi.baidu.com/aekdycoin/item/e493adc9a7c0870bad092fd9。数论学得各种败笔和急于求成，自己的理解就不谈了～直接上代码就是直接用到公式即可：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cstring>
 6 using namespace std;
 7 char bb[1000005];
 8 __int64 euler(__int64 x){
 9     __int64 i, res = x;
10     for(i=2;i<(__int64)sqrt(x*10)+1;i++){//
11         if(x%i==0){
12             res = res /i *(i-1);
13             while(x%i==0) x/=i;
14         }
15     }
16     if(x>1) res = res/x*(x-1);
17     return res;
18 }
19 __int64 quickpow(__int64 m, __int64 n, __int64 k){
20     __int64 b = 1;
21     while(n>0){
22         if(n&1){
23             b = ((b%k)*(m%k))%k;
24         }
25         n = (n>>1);
26         m = ((m%k)*(m%k))%k;
27     }
28     return b;
29 }
30 int main(){
31     __int64 a, c, b, phic, sum;
32     int i, j, k, l;
33     while(~scanf("%I64d",&a)){
34         scanf("%s",bb);
35         scanf("%I64d",&c);
36         l = strlen(bb);
37         phic = euler(c);
38         if(l<=10){
39             b = bb[0]-'0';
40             for(i=1;i<l;i++){
41                 b = b*10 + (bb[i]-'0');
42             }
43             if(b<phic){
44                 printf("%I64d\n",quickpow(a,b,c));continue;
45             }
46         }
47         b = 0ll;   //求一个很大的数对一个数的模数的方法
48         for(i=0;i<l;i++){
49             b = b*10 + (bb[i]-'0');
50             while(b>=phic){   //while很重要！！！，防溢出
51                 b -= phic;
52             }
53         /*if(b>=phic){
54         b = b%phic;
55         }*/
56         }
57         printf("%I64d\n",quickpow(a,b+phic,c));
58     }
59     return 0;
60 }

还有一个09上海赛的题（hdu3221），大致也是那样思路做的，用的矩阵快速幂求的斐波那切数列，套用公式，当天写完之后wa了，过了几天后回来看，发现自己在矩阵快速幂的结构体变量中设的是int而不是long long，模板用的也一直是int，觉得不会超，后来改成long long就A了，结果证明还是超了。推出来的公式是：

n=1：a

n=2：b

n=3：ab

n=4：ab²

n=5：a²b³

n=6：a³b⁵

n=7：a⁵b⁸

n=8：a⁸b¹³

正常人应该都能看出规律了吧，就是斐波那切数列，由于指数比较大，要用到指数循环节的公式，中间用矩阵快速幂求斐波那切数列。具体代码：

View Code

  1 #include<iostream>
  2 #include<cstdio>
  3 #include<cmath>
  4 #include<algorithm>
  5 #include<cstring>
  6 #include<cmath>
  7 using namespace std;
  8 __int64 euler(__int64 x){
  9     __int64 i, res = x;
 10     for(i=2;i<(__int64)sqrt(x*10.0)+1;i++){
 11         if(x%i==0){
 12             res = res/i*(i-1);
 13             while(x%i==0) x/=i;
 14         }
 15     }
 16     if(x>1) res = res/x*(x-1);
 17     return res;
 18 }
 19 __int64 quickpow(__int64 m, __int64 n, __int64 k){
 20     __int64 b = 1;
 21     while(n>0){
 22         if(n&1){
 23             b = (b*m)%k;
 24         }
 25         n = (n>>1);
 26         m = (m*m)%k;
 27     }
 28     return b;
 29 }
 30 typedef struct{
 31     __int64 m[2][2];
 32 }Matrix;
 33 Matrix P = {0,1,1,1}, I = {1,0,0,1};
 34 Matrix matrixmul(Matrix a,Matrix b,__int64 p) //矩阵乘法
 35 {
 36        int i,j,k;
 37        Matrix c;
 38        for (i = 0 ; i < 2; i++)
 39            for (j = 0; j < 2;j++)
 40              {
 41                  c.m[i][j] = 0;
 42                  for (k = 0; k < 2; k++){
 43                      c.m[i][j] += (a.m[i][k] * b.m[k][j])%p;   // 取模的值
 44                  }
 45                  c.m[i][j] %= p;
 46              }
 47        return c;
 48 }
 49
 50 Matrix matrix_exp(Matrix P, Matrix I, __int64 n,__int64 p)
 51 {
 52        Matrix m = P, b = I;
 53        while (n >= 1)
 54        {
 55              if (n & 1)
 56                 b = matrixmul(b,m,p);
 57              n = n >> 1;
 58              m = matrixmul(m,m,p);
 59        }
 60        return b;
 61 }
 62 int main(){
 63     int i, j, k, l, t, T;
 64     __int64 a, b, p, n;
 65     __int64 f1, f2, f3, phip, aa, bb;
 66     scanf("%d",&T);
 67     for(t=1;t<=T;t++){
 68         scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&p,&n);
 69         phip = euler(p);
 70         printf("Case #%d: ",t);
 71         if(n==1){
 72             printf("%I64d\n",a%p);continue;
 73         }
 74         if(n==2){
 75             printf("%I64d\n",b%p);continue;
 76         }
 77         if(n==3){
 78             printf("%I64d\n",((a%p)*(b%p))%p);continue;
 79         }
 80         f1 = 0; f2 = 1; k = 0;
 81         for(i=4;i<=n;i++){
 82             f3 = f1+f2;
 83             if(f3>=phip){
 84                 f3 %= phip;
 85                 k = 1;break;
 86             }
 87             f1 = f2; f2 = f3;
 88         }
 89         Matrix tmp;
 90         if(k){
 91             tmp = matrix_exp(P,I,n-3,phip);
 92             f1 = tmp.m[1][0]; f2 = tmp.m[1][1];
 93             aa = f2%phip+phip;
 94             f3 = f1+f2;
 95             bb = f3%phip+phip;
 96         }
 97         else{
 98             aa = f3;
 99             f3 = f1+f2;
100             bb = f3;
101         }
102         printf("%I64d\n",(quickpow(a,aa,p)*quickpow(b,bb,p))%p);
103     }
104     return 0;
105 }

最近的一道题就是前几天多校的题了，还是在那以后才会的这个公式，后来看了题解做的这题，那个trick也不是一般的坑人啊。

题意：给出三个数 (b, P and M)，其中 ( 0<=b<P, 1<=P<=10^5, 1 <= M <=2^64 – 1 )，M的范围即暗示要用unsigned long long了，求满足n^n!Ξb (mod p)，（0≤n≤M）的n有多少个。也是大整数幂，其中指数很大，所以要用到之前说的指数循环节的公式

A^x = A^(x % Phi(C) + Phi(C)) (mod C)，其中x≥Phi(C)

对于n!的处理，主要分为一下3部分处理：

1，n很小的时候，直接枚举就可以了，很小指的是n!<phip，此时上述公式也不适用；

2，公式适用要求x≥phip，此时n^n!Ξn^n!%phip+phipΞb (mod p)，这样可以判断n^n!Ξb (mod p)是否成立，但对于每一个n只是套用公式判断是否同余，仍然需要逐个枚举是否满足，而M特别大，枚举所有数必然超时；

3，可以进一步发现当某个n!%phip==0时，之后的所有n!都能整除phip，上述公式等价于n^n!Ξn^phipΞb (mod p)，指数为固定值，这样就能看出循环节的公式了，根据乘法同余式(shit,这个也看了好久，phip个n相乘)n^phipΞ(n%p)^phipΞb (mod p)，所以在枚举p个n就可以了，当其中某个n成立时，可以知道其后≤M的所有模p同余的数的个数，答案就出来了。（大trick见代码）

 1 #include<iostream>
 2 #include<cmath>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<cstring>
 5 #include<algorithm>
 6 #define see(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl;
 7 using namespace std;
 8 typedef unsigned __int64 LLU;
 9 LLU euler(LLU x){
10     LLU i, res = x;
11     for(i=2;i<(LLU)sqrt(x*10.0)+1;i++){
12         if(x%i==0){
13             res = res/i*(i-1);
14             while(x%i==0) x/=i;
15         }
16     }
17     if(x>1) res = res/x*(x-1);
18     return res;
19 }
20
21 LLU quickpow(LLU m, LLU n, LLU k){
22     LLU b = 1;
23     while(n>0){
24         if(n&1)
25             b = (b*m)%k;
26         n = n>>1;
27         m = (m*m)%k;
28     }
29     return b;
30 }
31 LLU f[100001];
32 int main(){
33     //freopen("1005.in","r",stdin);
34     //freopen("out.txt","w",stdout);
35     int t, T, i , k, l, flag;
36     LLU b, p, m, phip, ans;
37     scanf("%d",&T);
38     for(t=1;t<=T;t++){
39         ans = 0; flag = 0;
40         //cin>>b>>p>>m;
41         scanf("%I64u%I64u%I64u",&b,&p,&m);
42         if(b==0&&p==1&&m==18446744073709551615ull){
43             printf("Case #%d: 18446744073709551616\n",t);continue;
44         }//这里是个大trick，m==18446744073709551615就是2^64-1，如果b==0，p==1，即[0,m]里面所有的数模1都为0，所以一共有2^64个，而2^64已经超过了unsigned long long，所以要特判输出
45         phip = euler(p);
46         f[0] = 1;
47         if(b==0){
48             ans++;
49         }
50         for(i=1;i<=m;i++){
51             f[i] = f[i-1]*i;
52             if(f[i]>=phip){
53                 f[i] = f[i]%phip;
54                 flag = 1;
55                 if(f[i]==0){
56                     break;
57                 }
58             }
59             if(flag){
60                 if(quickpow(i,f[i]+phip,p)==b){
61                     ans++;
62
63                 }
64             }
65             else{
66                 if(quickpow(i,f[i],p)==b){
67                     ans++;
68                 }
69             }
70         }
71         for(k=0;i<=m&&k<p;i++,k++){
72             if(quickpow(i,phip,p)==b){
73                 ans = ans+1+(m-i)/p;
74             }
75         }
76         printf("Case #%d: %I64u\n",t,ans);
77         //cout<<ans<<endl;
78     }
79     return 0;
80 }

利用此题，亲测杭电oj，可以定义long long，只是输入输出不能用%lld，可以用cin，cout，如果用scanf，printf就只能用%I64d，所以要定义__int64。同long long也可以定义unsigned __int64，输入输出可以用%I64u。

关于数论题目的总结：

1，数论题目，代码不长，一般知道相关知识，即可求解，但是也要注意细节，以免大意失荆州～～

2，数学题目以后直接所有变量都设成long long吧，（：在这上面摔过很多次了

转载于:https://www.cnblogs.com/celia01/archive/2012/08/03/2621795.html