非线性系统状态估计是一大难点。KF（Kalman Filter）只适用于线性系统。EKF（Extended Kalman Filter）利用泰勒展开将非线性系统线性化。可是，EKF在强非线性系统下的误差很大。本文将介绍一种新型的滤波算法UKF（Unscented Kalman Filter），其计算精度相比EKF更高并省略了Jacobian矩阵的计算。

Why UKF

本博客在之前两篇介绍了KF和EKF。那么，为什么还需要UKF呢，原因见下表：

模型	缺点	UKF对缺点改进
KF	只适用于线性系统	适用于非线性系统
EKF	线性化忽略了高阶项导致强非线性系统误差大；线性化处理需要计算Jacobian矩阵	对非线性的概率分布近似，没有线性化忽略高阶项；不需要计算Jacobian矩阵

UKF简述

原理概述

首先，回顾下UKF需要解决的问题，已知系统的状态及其方差xk,Pkx_k,P_k。如果经过非线性函数xk+1=f(xk)x_{k+1} = f(x_k)后，新的状态和方差如何求解。

EKF提供的方法是将非线性函数f(x)f(x)作泰勒一阶展开，利用Jacobian矩阵HjH_j近似将f(x)f(x)线性化为HjxH_j x。这种方法一方面在强非线性系统下误差大，另一方面Jacobian矩阵的计算着实令人头疼。

UKF认为每一个状态xk,Pkx_k,P_k都可以用几个Sigma点（关键点）XsigX_{sig}表示。当作用于非线性函数f(x)f(x)时，只需要将Sigma点XsigX_{sig}作用于非线性函数f(x)f(x)得到f(Xsig)f(X_{sig})即可。通过得到的f(Xsig)f(X_{sig})可以计算新的状态xk+1,Pk+1x_{k+1},P_{k+1}。

通过上面的介绍，我们知道UKF只是将非线性函数映射通过关键点映射来实现，那么出现几个问题：

关键点怎么找
找到关键点后如何求出新的状态xk+1,Pk+1x_{k+1},P_{k+1}

关键点怎么找

关键点的意义在于能够充分刻画原状态的分布情况，其经验公式如下图所示，需要注意的是：

nxn_x代表xk|kx_{k|k}的大小
λ\lambda代表关键点的散开情况，一般采用经验值λ=3−nx\lambda=3-n_x

找到关键点后如何求出新的状态

新状态的求解公式如下图所示，需要注意的是：

Xk+1|kX_{k+1|k}代表Sigma点集合，Xk+1|k,iX_{k+1|k,i}代表Sigma点集合中的第ii个点
nan_a代表xk+1|kx_{k+1|k}增广后的大小
nσn_{\sigma}代表Sigma点集合的大小，一般nσ=1+2nan_{\sigma} = 1+2n_a
权重wiw_i在i==0i==0时w0=λλ+naw_0=\frac{\lambda}{\lambda+n_a}，在i!=0i!=0时w0=12(λ+na)w_0=\frac{1}{2 (\lambda+n_a)}

多传感器融合

下面，将通过lidar、radar跟踪小车的例子，讲解UKF如何应用于小车状态跟踪。相关传感器信息及大体步骤可见扩展卡尔曼滤波EKF与多传感器融合。

CTRV模型

EKF文章中使用了CV（constant velocity）模型，本文将使用CTRV（constant turn rate and velocity magnitude）模型。其状态变量如下图所示。

因假定turn rate、velocity不变，其Process noise包含加速度与角加速度为：

νk=[νa,kνψ¨,k]

\nu_k = \begin{bmatrix} \nu_{a,k} \\ \nu_{\ddot{\psi},k} \end{bmatrix}

利用x˙\dot{x}及其对时间的积分xk+1=∫x˙dtx_{k+1}=\int \dot{x} dt可得Process模型为：

xk+1=xk+⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢vkψk˙(sin(ψk+ψk˙Δt)−sin(ψk))vkψk˙(−cos(ψk+ψk˙Δt)+cos(ψk))0ψk˙Δt0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

考虑Process noise为：

xk+1=xk+⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢vkψk˙(sin(ψk+ψk˙Δt)−sin(ψk))vkψk˙(−cos(ψk+ψk˙Δt)+cos(ψk))0ψk˙Δt0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥+⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢12νa,kcos(ψk)Δt212νa,ksin(ψk)Δt2νa,kΔt12νψ¨,kΔt2νψ¨,kΔt⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

x_{k+1}=x_k+\begin{bmatrix} \frac{v_k}{\dot{\psi_k}} (sin(\psi_k+\dot{\psi_k} \Delta t)-sin(\psi_k)) \\ \frac{v_k}{\dot{\psi_k}} (-cos(\psi_k+\dot{\psi_k} \Delta t)+cos(\psi_k)) \\ 0 \\ \dot{\psi_k} \Delta t \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \nu_{a,k} \cos(\psi_k) \Delta t^2 \\ \frac{1}{2} \nu_{a,k} \sin(\psi_k) \Delta t^2 \\ \nu_{a,k} \Delta t \\ \frac{1}{2} \nu_{\ddot{\psi},k}\Delta t^2 \\ \nu_{\ddot{\psi},k} \Delta t \end{bmatrix}

RoadMap

UKF的RoadMap如上图所示，核心思想在前部分已介绍过，其算法是：

初始化系统状态xk,Pkx_k, P_k
根据状态xk,Pkx_k, P_k生成Sigma点XkX_k
根据process model预测未来的Sigma点Xk+1|kX_{k+1|k}
根据预测的Sigma点Xk+1|kX_{k+1|k}生成状态预测xk+1|k,Pk+1|kx_{k+1|k}, P_{k+1|k}
当测量值到来时，将预测的Sigma点Xk+1|kX_{k+1|k}转换成预测测量值Zk+1|kZ_{k+1|k}
根据预测测量值Zk+1|kZ_{k+1|k}与真实测量值zk+1z_{k+1}的差值更新得到系统状态xk+1|k+1,Pk+1|k+1x_{k+1|k+1}, P_{k+1|k+1}

同时，有几个部分需要强调下。

数据增广
Update State
Noise Level与NIS

数据增广

如上图，在process预测时需要对xkx_k进行增广，原因是process模型中包含了噪声的非线性关系f(xk,νk)f(x_k,\nu_k)。反之，在measurement model中因为噪声是线性关系的所以不需要进行数据增广。

增广后x，Px，P变化如下，

x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢pxpyvψψ˙⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⇒xa=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢pxpyvψψ˙νaνψ¨⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

x = \begin{bmatrix} p_x \\ p_y \\ v \\ \psi \\ \dot{\psi} \end{bmatrix} \Rightarrow x_a= \begin{bmatrix} p_x \\ p_y \\ v \\ \psi \\ \dot{\psi} \\ \nu_a \\ \nu_{\ddot\psi} \end{bmatrix}

Pa=[P00Q]Q=[ν2a00ν2ψ¨]

P_a=\begin{bmatrix} P & 0\\ 0 & Q \end{bmatrix} Q=\begin{bmatrix} \nu_a^2 & 0\\ 0 & \nu_{\ddot{\psi}}^2 \end{bmatrix}

Update State

State的更新公式如下图所示：

Noise Level与NIS

UKF中牵涉的噪音有两类：

Process Noise：νa,νψ¨\nu_a,\nu_{\ddot{\psi}}，需要自己设定
Measurement Noise：lidar、radar的噪音水平，由厂家提供

自己设定调整的方法有NIS，NIS的分布服从chi-square分布，调整合适的噪音水平使其符合规定的chi-square分布即可。

示例

本文采用与扩展卡尔曼滤波EKF与多传感器融合相同的数据集，结果如下。

NIS验证结果如下：

总体跟踪情况如下：

UKF与EKF的RMSE对比如下，UKF明显占优：

方法	X	Y	VX	VY
EKF	0.0973	0.0855	0.4513	0.4399
UKF	0.0661	0.0827	0.3323	0.2146

相关代码可参考：YoungGer的Github

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