BCNF无损分解例题

例2. 关系模式R<U,F>，其中：U={A,B,C,D,E}，F={A→C,C→D,B→C,DE→C,CE→A}，将其分解成BCNF并保持无损连接;

第一步:求取码

首先查找L属性，即只在依赖函数左端出现过的属性，结果为B,E。

然后计算B在F上的闭包为BCD，E在F上的闭包为E，显然都不等于U，但是BE的闭包等于U

因此BE为R的唯一候选码

候选码求法

第二部：逐步分解

第一次分解

A->C违背BCNF的定义，单独拿出构成关系模式R11(A,C),F11(A->C),key11=A。

同样，函数依赖右端中不必再出现C，可以通过传递依赖尽可能消除C,那么得到

B->D,DE->D,BE->A,A->D,AE->A,把能换的全换了保险。然后就将R分解成了

R12(A,B,D,E),F12(B->D,DE->D,BE->A,A->D,AE->A),key12=BE

然后计算F11与F12求最小依赖集

F11不变,本身就是，F12经过单属性化，无冗余化，既约化后变为

R12(A,B,D,E),F12(B->D,BE->A,A->D),key12=BE

最小依赖集求法

综上R分解成为：R11(AC),F11(A->C),key11=A，R12(A,B,D,E),F12(B->D,BE->A,A->D),key12=BE

第二次分解

鉴于R11已经为BCNF，故可以不再分解。但R12显然不是，需要继续分解。

显然R12中的A->D不满足BCNF定义，单独拿出，R21(A,D),F21(A->D),key=A,

函数依赖右端中不必再出现D，可以通过传递依赖尽可能消除D,那么得到

R22(A,B,D,E),F12(B->D,BE->A),key22=BE

此时F21与F22均是最小依赖集不需要变

综上R12分解成为：R21(A,D),F21(A->D),key=A，R22(A,B,D,E),F12(B->D,BE->A),key22=BE

第三次分解

鉴于R21已经为BCNF，故可以不再分解。但R22显然不是，需要继续分解。

显然B->D不满足BCNF定义直接拿出

R31(B,D),F31(B->D),key=B，那么剩余的BE->A也可以构成BCNF

R32(ABE),F32(BE->A),key=BE

显然R31与R32都满足BCNF，分解完毕

综上R22分解成为：R31(B,D),F31(B->D),key=B，R32(ABE),F32(BE->A),key=BE

综上所述R分解为下表

R11(AC),F11(A->C),key11=A

R21(A,D),F21(A->D),key=A

R31(B,D),F31(B->D),key=B

R32(ABE),F32(BE->A),key=BE

R11(AC),F11(A->C),key11=A
R21(A,D),F21(A->D),key=A
R31(B,D),F31(B->D),key=B
R32(ABE),F32(BE->A),key=BE

第三步：验证上述BCNF分解就是无损连接

做表

A B C D E

AC a1 b12 a3 b14 b15

AD a1 b22 b23 a4 b25

BD b31 a2 b33 a4 b35

ABE a1 a2 b43 b44 a5

观察函数依赖F

A->C,改表

A B C D E

AC a1 a2 a3 b14 b15

AD a1 a2 b23 a4 b25

BD b31 a2 b33 a4 b35

ABE a1 a2 b43 b44 a5

B->C,改表

A B C D E

AC a1 a2 a3 b14 b15

AD a1 a2 a3 a4 b25

BD b31 a2 a3 a4 b35

ABE a1 a2 a3 b44 a5

C->D,改表

A B C D E

AC a1 a2 a3 a4 b15

AD a1 a2 a3 a4 b25

BD b31 a2 a3 a4 b35

ABE a1 a2 a3 a4 a5

此时，第五行全部为a，是无损连接，证明完毕

	A	B	C	D	E
AC	a1	b12	a3	b14	b15
AD	a1	b22	b23	a4	b25
BD	b31	a2	b33	a4	b35
ABE	a1	a2	b43	b44	a5

	A	B	C	D	E
AC	a1	a2	a3	b14	b15
AD	a1	a2	b23	a4	b25
BD	b31	a2	b33	a4	b35
ABE	a1	a2	b43	b44	a5

	A	B	C	D	E
AC	a1	a2	a3	b14	b15
AD	a1	a2	a3	a4	b25
BD	b31	a2	a3	a4	b35
ABE	a1	a2	a3	b44	a5

	A	B	C	D	E
AC	a1	a2	a3	a4	b15
AD	a1	a2	a3	a4	b25
BD	b31	a2	a3	a4	b35
ABE	a1	a2	a3	a4	a5

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