人脸识别-特征脸方法

特征脸EigenFace的思想是把人脸从像素空间变换到另一个空间，在另一个空间中做相似性的计算。EigenFace是一种基于统计特征的方法，将人脸图像视为随机向量，并用统计方法辨别不同人脸特征模式。EigenFace的基本思想是，从统计的观点，寻找人脸图像分布的基本元素，即人脸图像样本集协方差矩阵的特征向量，以此近似的表征人脸图像，这些特征向量称为特脸。 EigenFace选择的空间变换方法是PCA，主成分分析。PCA也常被称为特征脸方法。是一种基于人脸特征提取的人脸识别核心技术。它广泛的被用于预处理中以消去样本特征维度之间的相关性。
EigenFace方法利用PCA得到人脸分布的主要成分，具体实现是对训练集中所有人脸图像的协方差矩阵进行本征值分解，得对对应的本征向量，这些本征向量（特征向量）就是“特征脸”。每个特征向量或者特征脸相当于捕捉或者描述人脸之间的一种变化或者特性。这就意味着每个人脸都可以表示为这些特征脸的线性组合。
下面就直接给出基于特征脸的人脸识别实现过程：

1）将训练集的每一个人脸图像都拉长一列，将他们组合在一起形成一个大矩阵A。假设每个人脸图像是MxM大小，那么拉成一列后每个人脸样本的维度就是d=MxM大小了。假设有N个人脸图像，那么样本矩阵A的维度就是dxN了。
2）将所有的N个人脸在对应维度上加起来，然后求个平均，就得到了一个“平均脸”。你把这个脸显示出来的话，还挺帅的哦。
3）将N个图像都减去那个平均脸图像，得到差值图像的数据矩阵Φ。
4）计算协方差矩阵C=ΦΦT。再对其进行特征值分解。就可以得到想要的特征向量（特征脸）了。
5）将训练集图像和测试集的图像都投影到这些特征向量上了，再对测试集的每个图像找到训练集中的最近邻或者k近邻啥的，进行分类即可。

另外，对于步骤4），涉及到求特征值分解。如果人脸的特征维度d很大，例如256x256的人脸图像，d就是65536了。那么协方差矩阵C的维度就是dxd=65536x65536。对这个大矩阵求解特征值分解是很费力的。那怎么办呢？如果人脸的样本不多，也就是N不大的话，我们可以通过求解C’=ΦTΦ矩阵来获得同样的特征向量。可以看到这个C’=ΦTΦ只有NxN的大小哦。如果N远远小于d的话，那么这个力气就省得很值了。那为什么求解C’=ΦTΦ矩阵的特征向量可以获得C=ΦΦT的特征向量？

  其中，ei是C’=ΦTΦ的第i个特征向量，vi是C=ΦΦT的第i个特征向量，由证明可以看到，vi=Φei。所以通过求解C’=ΦTΦ的特征值分解得到ei，再左乘Φ就得到C=ΦΦT的特征向量vi了。也就是我们想要的特征脸。

特征脸算法原理
将 N 个尺寸为 WH 的人脸图像（训练集）分别按行级联成 N 个 WH 维的特征向量，，,（零均值）,训练样本协方差为。
选定 M 个基向量z1z2,…,zM（正交基），M≤N，该基向量构成 M 维的特征空间。计算每个训练样本相对于每个基向量的投影，并对每个基向量投影进行累加求和，则第 k 个特征向量可以表示为。约束条件为

所有的训练样本可以由M维的特征向量表示为，i=1，2，…，N。最大投影系数（特征值）对应的特征向量（总共有 M 个）认为是对训练样本的最好简约表示（可以是前几个），则与最大投影系数对应的基向量认为是有效的特征脸。将待识别人脸Γ归一化零均值，向量化之后投影到特征向量，得到 Π=uTΓ。利用 k 近邻分类器根据训练样本和待识别人脸的投影特征向量进行判别：
（1）
式（1）中：D 为两种模式之间的距离；Ф 为特征模版；П为测试人脸的模式。

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