Matlab处理阻尼振动数据,MATLAB计算方法和技巧6_2阻尼振动
弹簧振子的阻尼振动
[问题]一弹簧振子的质量为m ，倔强系数为k 。振子还受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为γ。当振子从静止开始运动时，初位移为A 。物体的运动规律是什么？不同的阻尼下的运动曲线和速度曲线有什么特点？
[数学模型]
根据牛顿运动定律，物体运动的微分方程为
2
2
d d d d x x m
kx t
t
γ
=--， (6.2.1)
取k /m = ω02
，γ/m = 2β，ω0就是无阻尼时物体的固有角频率，β是阻尼因子。物体的运动方程可表示为
2
2
02d d 20d d x x x t
t
β
ω++=。 (6.2.2)
设微分方程的解为x = e rt
，代入上式可得特征方程
r 2 - 2βr + ω02 = 0。 (6.2.3)
特征方程的解为
r β=-±
， (6.2.4)
设α=
α可以是实数和零以及虚数，则r 1 = -β + α，r 2 = -β – α，r 1和r 2可以是
实数或复数。微分方程的解为
121212e e
e
(e
e
)r t
r t
t
t
t
x C C C C βαα--=+=+， (6.2.5)
其中C 1和C 2是由初始条件决定的常数。物体的速度为
12112212d e e
e
[()e
()e
]d r t
r t
t
t
t
x v C r C r C C t
βααβαβα--=
=+=-++--。 (6.2.6)
当t = 0时，x = A ，v = 0，因此可得
A = C 1 + C 2，0 = C 1(-β + α) + C 2(-β - α)， (6.2.7)
如果β ≠ ω0，即α ≠ 0，解得两个常数分别为
12C A αβα+=，22C A αβα
-=。
因此物体的位移为
e
[()e
()e
]2t
t
t
A x βαααβαβα
--=
++-。 (6.2.8)
[讨论]①当β > ω0时，即α > 0，上式就是过阻尼的情况。
②当β → ω0时，即α → 0，不论用罗必塔法则还是用公式e αt → 1 + αt 和e -αt → 1 - αt ，都可得
00(1)e
t
x A t ωω-=+。 (6.2.9)
这是临界阻尼的情况。
③当β < ω0时，设ω=
α = i ω，为虚数单位，利用欧拉公式
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