探讨一个问题

这两天网络流行如图的一个演示问题：

有点像伽利略匹萨斜塔试验，打破了一些常识：走曲线的小球反而速度更快，奇怪也哉。

粗略的数值模拟

问题的分析用到的都是简单物理原理，只是计算繁琐一些，但是也没有最速下降曲线那么高端，只是引入了积分计算，还不至于引出变分法这样高级的东西。

我对动图中的两条路径做了简化，一条平直线，一条直接取余弦曲线了。只是两个小球在初始位置，给予相同的初始动能。

粗略的数值模拟表明，初始速度较小的时候，红色小球可以先于蓝色小球到达终点，但是，如果初始动能较大，则蓝色的会反超。

也就是说，在这个简化了的数值模型中，走曲线的小球比走直线小球快的情形，对小球的初始动能是有要求的，初始动能有一个“临界值”。

这个临界值取决于曲线的方程，即使在本例中为了简化分析，我用了曲线方程非常简单的余弦曲线，此时要想解析求解小球运动轨迹和时间的严格对应关系也很困难（估计是不可能），所以，数值模拟计算数值积分是比较合适的。

特别提示：到这里，问题并没有结束！为了得到关于原始问题的准确的结论，还必须往下看。

再深入一点探讨

上面的两个动态图没有考虑实际上走曲线的小球在何种初速度的情况下才能够一直贴着曲线路面走的这一可能性的边界。所以，分析的结果是粗糙的。而且，为了研究方便，假设与初速度无关，小球总能贴曲线路面走。这个假设不一定合理。

如果小球总能贴着余弦曲线走，水平方向的初速度最大是多少？也就是，小球在无干扰的情况下平抛，其路径是一条抛物线。抛物线在初始点处的曲率半径必须小于余弦曲线的曲率半径，小球才可能一直沿着曲线路面走。

下面演示的是v0v_0从 1 增加到 5 的过程中，蓝色的抛物线跟红色的余弦曲线之间的位置关系对比。容易发现，随着水平方向初速度增加，抛物线曲率半径越来越大，小球可能一出发就跳出去、而不是贴着红色的曲线走：

根据曲率半径在 x=0x=0 处抛物线和余弦曲线相等，得到这个速度最大值是 vmax=10−−√≈3.16v_{\max}=\sqrt{10}\approx 3.16 （简化起见，我取重力加速度为10）。

上面第一幅图我设置初速度 v0=5v_0=5，第二幅 v0=12v_0=12，由此可见，只要小球所走的曲线是 1+cosx1+\cos x ，则走曲线的小球总能比走水平直线的快（这个结论还跟量纲有关，这里就不进一步讨论了，这里默认取了SI制，所以所有量都没有用单位）。——因为初始水平方向的速度大于 vmax=10−−√≈3.16v_{\max}=\sqrt{10}\approx 3.16 小球会跳起来脱离曲线的路面，而不是一直贴着曲线的路径走。

跳起来的路径会是怎样的？乒乓球跟铁球肯定不同，答案不唯一了。

为了避免这样的探讨，可以把路径做成钢丝，小球上面中心穿孔，这样就简单了。从而，自由的走曲线路面的小球实际上跟被严格约束在特定曲线轨道上的小球，本质上是完全不同的两个问题。也就是，前面的对问题的简化和数值模拟，并不能反映原来的演示试验的真实情形。由于简化以至一个关键的约束条件发生了变化。

也就是，前面两幅模拟动画里的红色小球，实际上应该这么画：

定性结论

因为曲线不确定，只有定性才普适，所以，定性结论一下。假设曲线路面总是先下坡、再上坡，而且曲线的最高点不高于出发的水平位置（看似无关，实际上这些也对定性结论至关重要）。

如果对初始的速度不作考虑，则自由的走曲线路面的小球实际上跟被严格约束在特定曲线轨道上的小球，它们对应的问题，本质上是完全不同的两类问题。也就是，前面的数值模拟，分析的是跟原始问题并不相同的另一类问题。

——自由的走曲线路面的小球，因为加速过程先于减速过程，加速过程中总有一个沿着曲线法线方向的支撑力，它和重力的合力总产生水平方向的对小球加速的力，导致其到达目的点总比水平路面上的快：只要速度增加的过程中、作用在小球上的重力和曲线路面对小球的支撑力在小球运动朝向相同的水平方向上有一个大于0的分量，平均是水平方向的速度就总是大于初始速度的，这就总产生曲线路面更快的效果。

——固定曲线轨道的问题之所以可能产生走曲线的小球在初速度足够大时反而慢，是因为重力和支撑力的合力，在小球总速度增加的运动过程中，反而产生沿曲线法线方向斜向下的反向支撑力，这能使它跟重力的合力在水平方向的分力跟小球水平运动的方向相反、从而能使得小球的水平分速度平均低于初始水平速度。所以，小球在这种情形不能太快。——有一个弥补可能让人宽慰：在固定的约束在特定曲线轨道上的小球，如果水平方向综合表观速度比初速度恒定的小球慢，那么它在垂直方向上下落到底部应该比自由落体还快！这是能量守恒决定的。

只有当初始的水平方向的速度低于一个临界值，——此时，抛物线总在路径曲线下，出发点的曲率半径大于抛物线的曲率半径——曲线连续光滑、没有更大的坡度，此时两类问题才一致。——而原始问题在实际操作中，只是初始速度远低于曲率临界值的情形，可以用前面的数值方法分析，但是初始速度 v0v_0 更低，所以，无其它能量损耗的理想情况下，不存在水平运动的小球追上曲线运动小球的可能性。

对全程的即时速度(即随时间而变化的、是时间的函数的瞬时速度)在时间上做一个积分，才是数值模拟的时候需要比较的核心问题，才反映到底哪个更快这个答案的本质。

算了半天，发现得到的结论很苍白，有点做了无用功的感觉。有些问题还是需要定量计算的帮助才能理解更深入透彻的。

其它

我把计算中涉及的一些公式和存在的问题放在另外一篇里面了，不全面，也不完整，以后有时间慢慢改吧。

此外，为了修改原始的gif文件，去掉开头操作者从椅子上站起来的无用的细节，同时给初始帧足够的停留时间以达到理想显示效果，以及对曲率对比图作简单处理，gifsicle的操作是不可避免的：

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