关于柯西许瓦兹不等式的一些思考

这个不等式在大学数学的主干课程中曾以不同的形式出现，这里从线性代数向量的角度出发以一个统一的思路来整合理解这几个不同的表现形式

设a=(x1,x2...xn)，b=(y1,y2...yn)是两个向量，两者的内积a·b=|a|·|b|·cos(alpha)，其中alpha是两者的夹角。由绝对值的性质和三角函数界值可以有如下推导

|a·b| = | |a|·|b|·cos(alpha) | = |a|·|b|·|cos(alpha)| <= |a|·|b|-----------------------------（1）

等号成立时，alpha为0或者180度，也就是a、b两向量共线。

1，由（1）式可以衍生出柯西许瓦兹不等式的两种形式

|x1*y1 + x2*y2 + ... + xn*yn| <= sqrt(x1*x1 + x2*x2 + ... + xn*xn) * sqrt(y1*y1 + y2*y2 + ... + yn*yn)-------------------------------（2）

或者

(x1*y1 + x2*y2 + ... + xn*yn)^2 <= (x1*x1 + x2*x2 + ... + xn*xn)^2 * (y1*y1 + y2*y2 + ... + yn*yn)^2-------------------------------（3）

2，将（2）、（3）扩展到连续空间的情况得到柯西许瓦兹不等式的又两种形式

|integeral(f(x)*g(x))| <= sqrt(integeral(f(x)*f(x)))*sqrt(integeral(g(x)*g(x)))------------（4）

[integeral(f(x)*g(x))]^2 <= integeral(f(x)*f(x)) * integeral(g(x) * g(x))-------------------（5）

参考

http://wenku.baidu.com/view/71f2b91efc4ffe473368ab9f.html

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