【数据结构】图文详解Treap平衡树

一、前言

Treap平衡树是一种树形数据结构，它是对二叉查找树的一种优化方式，但是学习的过程是真的非常的…痛苦。

二、二叉查找树的概念

首先，我们称具有以下3个性质的树为二叉查找树（BST）
1.左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值。
2.右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值。
3.左、右子树也分别为二叉排序树。
如图

在这张图中我们可以发现，在二叉查找树中，从根结点开始查找一个点的时间复杂度为logn级别，在我们想对树进行插入查找的时候都非常方便。

但是很遗憾，二叉查找树是有着它的缺陷的，例如：假如我们最开始有一个这样的树

然后我们如果不断插入比6小的数，那么二叉查找树就会变成…

一点都不好看！而且这样的话，我们查找的时间复杂度就又变成了n了，二叉查找树就失去了优势。

三、Treap平衡树的概念

对于上面那张图，我们觉得它一点也不方便，也不好看，我们希望那棵树是这个样子的

即使不能变成上图那种最完美的树，但是我们也还是想要去达到这个效果

然后，我们了解一下树的旋转

下面这张图就是把节点4右转后形成的新图，仍然符合二叉查找树的定义，左转同理

旋转又什么用呢？我们先再看看那张不漂亮的图

如果我们以节点5右转后会发生什么呢？

唉？好像好看多了，那这样的话岂不是我们多旋转几次不就越来越好看了吗？
但是我们需要思考，我们要怎么样才能让它转起来呢？

对此，我们实现的方法是：每一个点，我们用结构体除了封装它的左右儿子以及自己的值以外，我们还封装一个变量val，val的值不是我们决定的，而是在定义点的时候由rand()函数随机赋予一个数。我们规定在我们的树中，上面的节点的val值必须要大于下面的节点的val值，我们在建树，插入数字的时候要不断检查，一旦val值大的节点在val值小的节点的下方，我们就要通过旋转来让val值满足要求。

通过这样的方法，只要val值足够随机，那么我们就能保证我们的树不会出现上文那种特别难看的情况，从而增加我们的查找以及修改效率。

例如，假如现在我们的树是这样的，红字代表val值

我们要插入一个值为4的点，val值被rand（）函数随机赋值为30，我们先把它插进去

很明显，点4和5的val值不符合要求，以5右转

点4和6依然不符合，继续以6右转，就会变成这样

唉？好像树的高度是没有变的啊！那我们的辛苦是为了什么？别急，如果我们要再加入一个点3，val为21，图会变成这样

而如果不处理，我们的树会变成这样

从这里我们就可以看出，我们的操作是有意义的，它成功的“美化”了我们的树。
再次重复，只要赋予的val值足够随机，那么一棵树在操作中就会维持一个比较美丽的状态，而rand()函数是可以提供足够随机数的，这就让我们Treap平衡树的实现有了保证。

三、Treap平衡树的代码实现

例题链接：Acwing 普通平衡树

您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作：插入数值 x。
删除数值 x(若有多个相同的数，应只删除一个)。
查询数值 x 的排名(若有多个相同的数，应输出最小的排名)。
查询排名为 x 的数值。
求数值 x 的前驱(前驱定义为小于 x 的最大的数)。
求数值 x 的后继(后继定义为大于 x 的最小的数)。
注意： 数据保证查询的结果一定存在。输入格式
第一行为 n，表示操作的个数。接下来 n 行每行有两个数 opt 和 x，opt 表示操作的序号(1≤opt≤6)。输出格式
对于操作 3,4,5,6 每行输出一个数，表示对应答案。数据范围
1≤n≤100000,所有数均在 −1e7 到 1e7 内。输入样例：
8
1 10
1 20
1 30
3 20
4 2
2 10
5 25
6 -1
输出样例：
2
20
20
20

这题的代码真的真的真的真的很难写！！！！！而且由于代码量的巨大导致调试起来非常非常非常非常的痛苦！！！！这道题是需要足够的耐心去写的。具体思路在代码中会解释。

看懂代码你需要知道以下知识点
1.结构体的简单操作
2.rand函数的使用
3.耐心
4.耐心
5.还**的是耐心

//#pragma GCC optimize(2)
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#include<stack>
#include<set>
#include<bitset>
#include<ctime>
#include<cstring>
#include<list>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
typedef  pair<int, int> PII;
const int N = 1e6 + 7;
int n;struct Node
{int l, r;  //左右节点编号int k;  //键值int val;  //随机分配的堆中的编号，不断旋转保证编号大的点一定在编号小的点的上方int cnt, size;   //cnt代表k有多少个，size代表以u为根的树有多少个点
}tr[N];int root, idx;void pushup(int u)
{tr[u].size = tr[tr[u].l].size + tr[tr[u].r].size + tr[u].cnt;
}int new_node(int k)  //新建点
{tr[++idx].k = k;tr[idx].val = rand();  //rand函数赋予随机值tr[idx].cnt = 1;tr[idx].size = 1;return idx;  //返回节点编号方便递归建树
}void zag(int& u)  //左旋函数，看不懂可以画图理解一下
{int q = tr[u].r;tr[u].r = tr[q].l;tr[q].l = u;u = q;pushup(tr[u].l);pushup(u);
}void zig(int& u)  //右转函数
{int q = tr[u].l;tr[u].l = tr[q].r;tr[q].r = u;u = q;pushup(tr[u].r);pushup(u);
}void build()  //建树，树的初始化
{new_node(-INF), new_node(INF);  //防止越界的哨兵root = 1, tr[1].r = 2;pushup(root);if (tr[1].val < tr[2].val) zag(root);
}void del(int& u, int k)  //树的删除操作
{if (u == 0) return;  //没有这个点就不操作if (tr[u].k == k)  //找到了这个点{if (tr[u].cnt > 1) tr[u].cnt--;  //这个点的数量大于1就直接减去一个就可以了else{if (tr[u].l || tr[u].r)  //不是叶子节点{if (!tr[u].r || tr[tr[u].l].val)  //如果左边有点就把要删除的点通过右转转到右边去，然后通过递归不断旋转直到转到叶子节点后删除{zig(u);del(tr[u].r, k);}else  //否则转到左边去{zag(u);del(tr[u].l, k);}}else   //是叶子节点就可以直接删除了u = 0;}}else if (tr[u].k > k) del(tr[u].l, k);//如果没有找到就判断一下在左右两边的哪一边else del(tr[u].r, k);//找一下pushup(u);//上传更改
}void insert(int& u, int k)  //点的插入操作
{if (u == 0) u = new_node(k);  //走到0说明当前位置没有点，就把点插在这里else{if (tr[u].k == k)   //重复点数量直接加1tr[u].cnt++;else{if (tr[u].k > k)  //比当前点的键值大就插入左边{insert(tr[u].l, k);if (tr[tr[u].l].val > tr[u].val) zig(u);  //平衡旋转}else   //否则插入右边{insert(tr[u].r, k);if (tr[tr[u].r].val > tr[u].val) zag(u);  //平衡旋转} }}pushup(u);//更新节点信息
}int get_rank(int u, int k)  //求k的位置
{if (u == 0) return 0;//是0随便返回就行if (tr[u].k == k) return tr[tr[u].l].size + 1;//相等了那排名应该就是左边的数量加上自己if (tr[u].k > k) return get_rank(tr[u].l, k);//大了找左边return tr[tr[u].l].size + tr[u].cnt + get_rank(tr[u].r, k);//找右边
}int get_key(int u, int rank)  //求该位置的值
{if (u == 0) return INF;if (tr[tr[u].l].size >= rank) return get_key(tr[u].l, rank);//找左边if (tr[tr[u].l].size + tr[u].cnt >= rank) return tr[u].k;//如果满足条件就直接returnreturn get_key(tr[u].r, rank - tr[tr[u].l].size - tr[u].cnt);//不然就找右边
}int get_pr(int u, int k)//前驱，小于k的最大的数
{if (u == 0) return -INF;if (tr[u].k >= k) return get_pr(tr[u].l, k);//找左边return max(get_pr(tr[u].r, k), tr[u].k);//可能是右边可能是这个数，所以用个max
}int get_ne(int u, int k)//后继，大于k的最小的数
{if (u == 0) return INF;//后继的写法和前驱相反，大家可以注意一下if (tr[u].k <= k) return get_ne(tr[u].r, k);return min(get_ne(tr[u].l, k), tr[u].k);
}void solve()
{build();cin >> n;while (n--){int op, x;cin >> op >> x;switch (op){case 1:{insert(root, x);break;}case 2:{del(root, x);break;}case 3:{cout << get_rank(root, x) - 1 << endl;break;}case 4:{cout << get_key(root, x + 1) << endl;break;}case 5:{cout << get_pr(root, x) << endl;break;}case 6:{cout << get_ne(root, x) << endl;break;}}}
}int main()
{//std::ios::sync_with_stdio(false);//cin.tie(0), cout.tie(0);solve();return 0;
}

作者：Avalon Demerzel，喜欢我的博客就点个赞吧，更多图论与数据结构知识点请见作者专栏《图论与数据结构》