微积分——求导数的链式法则

链式法则(Chain Rule)是微积分最强大的法则之一。这个法则处理的是复合函数(Composite Functions)的导数问题。

复合函数: 以另一种方式将两个函数组合起来的函数。正式定义：

令f 和g 分别为两个函数，函数(f。g)(x) = f (g(x))称为f 与g 的复合函数。复合函数 f。g 的定义域为所有g 的定义域中使得g(x) 在f 的定义域中的所有x 的集合。即，复合函数的定义域中的自变量，首先必须满足是位于g 的定义域中，同时，这个自变量也必须满足使其函数g 的值位于f 的定义域中，满足这两个限制的所有x 的值，构成复合函数的定义域。

当然，复合函数还可以继续复合，组成更复杂的函数。也就是说，复合函数是两套以上的映射法则。一般来讲，f与g 的复合函数，与g 与f 的复合函数，是不一样的复合函数。

例如，求f (x) = 2x– 3 和求复合函数 f。g 和 g。f 。

(1) f。g (读作“f 与 g 的复合函数”)

(2) g。f (读作“g 与 f 的复合函数”)

链式法则定理：假如 y = f (u)是一个u 的可微函数，u = g (x)是一个x 的可微函数，则 y = f (g(x)) 是一个x 的可微函数，并且

(即y 对x 的导数，等于y 对u 的导数，乘以u 对x 的导数。)

或者，写成等价形式

(即，先对第一个函数规则求导数，再对第二个函数规则求导数；链式法则的核心在于识别出复合函数的复合规则，找出复合前的两个函数规则；这种复合可能有多层，从最外层开始，从外向内层层解剖。)

例如，求函数的导数。

从函数定义可以看出，这是一个复合函数，有两套函数规则。这是一个函数规则，令其为；外层又有一个函数规则，立方规则，因此写成。

因此，

例如，求的导数。

这个复合函数有3层复合，即，立方这一层映射，三角函数这一层映射，最里层直线函数映射。

(先求最外层的导数，立方映射这一层)

(求次外层的导数，三角函数映射这一层)

(求最里层的导数，直线函数映射这一层)

参考资料：

<<calculus>> Ron Larson,The Pennsylvania State University The Behrend College
Bruce Edwards, University of Florida

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