多项式函数在某一点处的泰勒展开

已知多项式$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$.求它在$x=x_0$处的泰勒展开.

解：不断地求导以及赋值，可知$p(x)$在$x=0$处的泰勒展开为\begin{equation}\label{eq:11111}p(0)+\frac{p(0)'}{1!}x+\frac{p(0)''}{2!}x^2+\cdots+\frac{p(0)^{(n)}}{n!}x^n\end{equation}

下面寻求$p(x)$在$x=x_0$处的泰勒展开.采用的方法是带余除法.设$n\geq 1$((n=0)的情况没意思).则$$p(x)=q_0(x)(x-x_0)+b_0$$
(q_0(x)是一个多项式，且它的次数肯定不小于0)

假若此时$q_0(x)$的次数等于0，则停止操作.否则

$$q_0(x)=q_1(x)(x-x_0)+b_1$$
则
$$p(x)=q_1(x)(x-x_0)^2+b_1(x-x_0)+b_0$$

再看$q_1(x)$,假若$q_1(x)$的次数等于0，则停止操作，否则

$$q_1(x)=q_2(x)(x-x_0)+b_2$$

则
$$p(x)=q_2(x)(x-x_0)^3+b_2(x-x_0)^2+b_1(x-x_0)+b_0$$

这样子一直下去，我们知道$q_0(x),q_1(x)

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