对SG函数（Sprague-Garundy函数）及其应用的简单解释与证明

前置知识：Nim博弈（还没接触过的可以顺便学一学把模板题做了，本文求简洁，不再解释此知识）
参考文章：博弈论 SG函数（需要更详细的解释的可去此处）

正文：

提出问题：给定多个有向无环图，每个图有一个起始顶点，起始顶点上有一枚棋子，两名选手交替地选择一个图将其上的那枚棋子沿有向边进行移动，无法移动者判负。

接下来分析一个图的情况：
首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Garundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 }。
我们令各个结点x的值为g(x)。例如：

可推得g(x)有如下性质：
（1）当g(x)=0，其后继结点都非0；
（2）当g(x)>0，其后继结点中都存在所有0~g(x)-1的点；

起始结点为0的情况，先手将使棋子走向一个非0结点，则后手必能使棋子继续走向一个为0的结点。先手者无可奈何，无法使棋子结点值改变。
（若先手必胜，先手不必在这里走；若后手必胜，先手也无法改变什么，局势尽在后手掌握之中。于是该情况可以不予理会了。）

起始结点为k(k>0)的情况，先手能使棋子走向0 ~ k-1值任意一个结点。
（如果存在值大于k的后继结点，先手走向该后继结点结点后，后手能继续走向该后继结点的一个值也为k的后继结点，所以先手者无法使棋子结点值变大，只能使其走向0 ~ k-1值的结点。若先手必胜，不会走大于k的点；若后手必胜，先手也无法改变什么，局势尽在后手掌控之中。于是该情况可以不予理会了。）

即可转化为Nim博弈问题，从k个石子的堆里取石子，使堆中石子数变为0~k-1。

 `Conclusion(Nim博弈):记每个堆的初始结点值为t(i)，则if  t(1)^t(2)^...^t(x) = 0 :   先手必败; else  先手必胜`;

此类似问题都可用SG函数解决，其实际上是个解决问题的工具。

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