HHT方法的原理

2.1 引言

经验模态分解方法(EMD)是 Norden E.Huang 等人[13]于 1998 年提出的，并将 Hilbert谱引入EMD方法，形成了今日的希尔伯特-黄变换(Hilbert-Huang Transform，简称HHT)。HHT 方法由经验模态分解(Empirical Mode Decomposition，简称 EMD)和 Hilbert 变换(Hilbert transform，简称 HT)两个内容构成的。HHT 法是继傅立叶变换、小波变换后的时频性较强的自适应信号处理方法[51]。但是此方法有两个缺点：端点效应、模态混叠现象，前者是由于 EMD 分解中的插值方式引起的问题，后者是 EMD 分解出的固有模态函数(IMF)问题。HHT 方法是对信号进行平稳化处理，进而分析出信号的时间-频率关系。但是它的两个缺点制约了 HHT 的发展，那么如何改进、完善 HHT 是当前的重要工作。

本章从 HHT 方法的理论出发，明确完善 HHT 方法的方向，从而实现对 HHT 方法的改进。针对加入 Kriging 插值算法的 HHT 分解方法(K-HHT 方法)所存在的问题，尝试利用寻优能力较强的粒子群算法对 K-HHT 方法进行优化。

2.2 HHT方法的原理

2.2.1 经验模态分解方法

EMD方法是希尔伯特黄-变换方法中最重要的一步，其分解效果的好坏直接决定着HHT分析方法的优劣。通过EMD分解过程将待分析信号数据分解成有限数量的固有模态函数(IMF)，但是分解的IMF分量必须经过严格的筛选才能获得，通常分解得到的IMF分量需满足两个条件：①经过分解得到的时间序列，其极值点数量与过0点数量相差不超过1个；②经过插值方式拟合的极值包络线在分析时间序列内的均值为0。

假设信号 x(t)，EMD的分解过程如下：

(1)先将待分析信号x(t)的所有局部极大值和极小值点分别提取出来，再通过三次样条插值方式分别拟合极大值点、极小值点形成极大值包络线 emax (t)和极小值包络线emin(t)。得到极值包络线均值m1。

(2)将信号x(t)减去包络线的均值m1，获得新信号y1(t)：

y1(t)=x(t)-m1 (2-2)

此次获得的信号y1(t)就是IMF分量形式。根据IMF分量的判断准则判定是否是IMF分量。若y1(t)不满足条件，则将y1(t)作为原始数据，重复上述步骤，不断筛选，直至y1(t)满IMF条件，此时，记y1(t)=c1(t)，则c1(t)为信号x(t)的第一个IMF分量。

(3)将剩余信号r1(t)=x(t)-c1(t)作为原始信号，同上原理分解k次得到k阶IMF，余量rn(t)。若得到的余量rn (t)为一个单调信号或mn足够小时，EMD分解结束。综合上述结果，将各阶IMF与余项rn(t)重构获得原始信号:

图 2-1 所示为 EMD 构造极值包络线的过程。

Huang 所提出的 EMD 分解方法可以理解为一个尺度滤波的方法，通过 EMD 分解之后所得各个 IMF 分量都反映了信号的特征尺度，代表了信号的内在模态特征。HHT方法可通过 EMD 分解得到的 IMF 分量进行求导，获得分量的瞬时频率。

对于每一个信号来说，每个时刻必然存在一个瞬时频率。对于非平稳信号需要根据不同的算法获得信号的瞬时频率。式(2-4)是本文运用的瞬时频率计算公式：

其中，xˆ(t)为HT变换所得。图2-2为EMD分解的流程图。

2 Hilbert变换和Hilbert谱

基于原信号自身的局部均值特征以及时间尺度，EMD方法将信号按频率由高到低筛分成一系列IMF分量的和。那么，每一个IMF分量计算得到的瞬时频率以及瞬时幅值就有了真实的物理意义。对原信号进行EMD分解后，再对分解得到的IMF分量进行Hilbert变换就可以得到各自的瞬时频率，然后将所有的IMF分量的瞬时频谱综合即可获得信号的Hilbert 谱。Hilbert变换是一种适用于窄带信号的线性变换，它着重于信号的局部特征，从而避免了Fourier变换产生的较多信号中不存在的高低谐波成分。

根据各阶IMF分量进行Hilbert变换：

式中，PV代表柯西主值。根据瞬时频率公式(2-4)，可以将原信号x(t)表示为：

由于频率和振幅均是时间的函数，都具有时域的特征；上式展开后就是Hilbert

谱，写成：

H(ω,t)是一种完整的时间一频率一能量的联合谱，从中既可以看到不同时间段的频

率变化情况，又可以看到能量随着时间和频率的推移而变化的情况。下面，对时间做积

分就可以得到Hilbert边际谱：

式(2-8)中：h(ω)边际谱描述了不同局部频率段的幅值变化，T代表信一号时间序列

总长度。

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