Regularization

正则化

在Deep Learning¹书中，是这么定义正则化的：

“any modification we make to a learning algorithm that is intended to reduce its generalization error, but not its training error.”

PyTorch的优化器使用l2l_2l2参数正则化去限制模型大小(即减小参数方差)。

总的来说，我们可以把它写为:
loss(W;x;y)=lossD(W;x;y)+λRR(W)loss(W;x;y) = loss_D(W;x;y) + \lambda_R R(W) loss(W;x;y)=lossD(W;x;y)+λRR(W)
特别的：
loss(W;x;y)=lossD(W;x;y)+λR∥W∥22loss(W;x;y) = loss_D(W;x;y) + \lambda_R \lVert W \rVert_2^2 loss(W;x;y)=lossD(W;x;y)+λR∥W∥22

其中WWW是网络中所有权重元素的集合（即这是model.parameters()），loss(W;x;y)loss(W;x;y)loss(W;x;y)是总训练损失，并且lossD(W)loss_D(W)lossD(W)是数据损失（即目标函数的误差，也称为损失函数，或者在Distiller样本图像分类器压缩中的criterion）。

optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr = 0.01, momentum=0.9, weight_decay=0.0001)
criterion = nn.CrossEntropyLoss()
...
for input, target in dataset:optimizer.zero_grad()output = model(input)loss = criterion(output, target)loss.backward()optimizer.step()

λR\lambda_RλR是一个被称为正则强度的标量，它平衡了数据误差和正则误差。在PyTorch中是 weight_decay参数。

∥W∥22\lVert W \rVert_2^2∥W∥22是WWW的l2l_2l2范数平方，被称为幅度（magnitude），表示张量大小。
∥W∥22=∑l=1L∑i=1n∣wl,i∣2  where n=torch.numel(wl)\lVert W \rVert_2^2 = \sum_{l=1}^{L} \sum_{i=1}^{n} |w_{l,i}|^2 \;\;where \;n = torch.numel(w_l) ∥W∥22=l=1∑Li=1∑n∣wl,i∣2wheren=torch.numel(wl)

LLL是网络中的层数。

在深度学习中解释了l2l_2l2 范数和平方l2l_2l2范数之间的定性差异。

稀疏与正则

我们提到正则化，因为正则化和一些DNN稀疏诱导方法之间存在有趣的相互作用。

在Dense-Sparse-Dense (DSD)²中使用剪枝作为正则化来提升模型准确率：

“Sparsity is a powerful form of regularization. Our intuition is that, once the network arrives at a local minimum given the sparsity constraint, relaxing the constraint gives the network more freedom to escape the saddle point and arrive at a higher-accuracy local minimum.”

正规化也可用于诱导稀疏性。为了诱导元素稀疏性，我们可以使用l1l_1l1范数，∥W∥1\lVert W \rVert_1∥W∥1。

∥W∥1=l1(W)=∑i=1∣W∣∣wi∣\lVert W \rVert_1 = l_1(W) = \sum_{i=1}^{|W|} |w_i| ∥W∥1=l1(W)=i=1∑∣W∣∣wi∣

l2l_2l2范数正则化通过减小大的参数来避免过度拟合并提高模型的精度，但它不会强制这些参数为绝对零。l1l_1l1-范数正则化将一些参数元素设置为零，因此在使模型更简单的同时限制了模型的容量。这有时被称为特征选择，并为我们提供了修剪的另一种解释。

Distiller的一个Jupyter文件解释了l1l_1l1-范数正则化器如何引起稀疏性，以及它如何与l2l_2l2-范数正则化相互作用。

如果我们将weight_decay配置为零并使用l1l_1l1-范数正则化，那么我们有：
loss(W;x;y)=lossD(W;x;y)+λR∥W∥1loss(W;x;y) = loss_D(W;x;y) + \lambda_R \lVert W \rVert_1 loss(W;x;y)=lossD(W;x;y)+λR∥W∥1
如果同时使用两个正则化，则有:
loss(W;x;y)=lossD(W;x;y)+λR2∥W∥22+λR1∥W∥1loss(W;x;y) = loss_D(W;x;y) + \lambda_{R_2} \lVert W \rVert_2^2 + \lambda_{R_1} \lVert W \rVert_1 loss(W;x;y)=lossD(W;x;y)+λR2∥W∥22+λR1∥W∥1

类 distiller.L1Regularize实现l1l_1l1-范数正则化，当然也可以通过schedule 使用。

l1_regularizer = distiller.s(model.parameters())
...
loss = criterion(output, target) + lambda * l1_regularizer()

组正则化

在Group Regularization中，我们惩罚整组参数元素，而不是单个元素。因此，整个组要么是稀疏化的（即所有组元素都具有零值），要么不是。必须预先定义组结构。

loss(W;x;y)=lossD(W;x;y)+λRR(W)+λg∑l=1LRg(Wl(G))loss(W;x;y) = loss_D(W;x;y) + \lambda_R R(W) + \lambda_g \sum_{l=1}^{L} R_g(W_l^{(G)}) loss(W;x;y)=lossD(W;x;y)+λRR(W)+λgl=1∑LRg(Wl(G))
让我们表示组中ggg的所有权重元素为w(g)w^{(g)}w(g)。

Rg(w(g))=∑g=1G∥w(g)∥g=∑g=1G∑i=1∣w(g)∣(wi(g))2R_g(w^{(g)}) = \sum_{g=1}^{G} \lVert w^{(g)} \rVert_g = \sum_{g=1}^{G} \sum_{i=1}^{|w^{(g)}|} {(w_i^{(g)})}^2 Rg(w(g))=g=1∑G∥w(g)∥g=g=1∑Gi=1∑∣w(g)∣(wi(g))2
其中w(g)∈w(l)w^{(g)} \in w^{(l)}w(g)∈w(l)并且∣w(g)∣|w^{(g)}|∣w(g)∣是w(g)w^{(g)}w(g)中的元素数。

λg∑l=1LRg(Wl(G))\lambda_g \sum_{l=1}^{L} R_g(W_l^{(G)})λg∑l=1LRg(Wl(G))被称为组正规则。就像在l1l_1l1-范数正则化中我们总和所有张量元素的大小一样，在Group Lasso中，我们总结了元素结构（即组）的大小。

组正则化也称为块正则化，结构化正则化或粗粒度稀疏性（元素稀疏性有时被称为细粒度稀疏性）。组稀疏性表现出规律性（即其形状是规则的），因此对提高推理速度可能是有益的。

Huizi-et-al-2017³ 提供了一些不同组的概述：卷积核，通道，过滤器，层等。也可以使用诸如矩阵列和行的结构，以及各种形状结构（块稀疏性），甚至intra kernel strided sparsity⁴。

distiller.GroupLassoRegularizer目前实现了大多数这些组，也可以轻松添加新组。

参考

Ian Goodfellow and Yoshua Bengio and Aaron Courville.
Deep Learning,
arXiv:1607.04381v2,
2017. ↩︎
Song Han, Jeff Pool, Sharan Narang, Huizi Mao, Enhao Gong, Shijian Tang, Erich Elsen, Peter Vajda, Manohar Paluri, John Tran, Bryan Catanzaro, William J. Dally.
DSD: Dense-Sparse-Dense Training for Deep Neural Networks,
arXiv:1607.04381v2,
2017. ↩︎
Huizi Mao, Song Han, Jeff Pool, Wenshuo Li, Xingyu Liu, Yu Wang, William J. Dally.
Exploring the Regularity of Sparse Structure in Convolutional Neural Networks,
arXiv:1705.08922v3,
2017. ↩︎
Sajid Anwar, Kyuyeon Hwang, and Wonyong Sung.
Structured pruning of deep convolutional neural networks,
arXiv:1512.08571,
2015 ↩︎

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