广义势能函数和带电粒子在电磁场中的运动

根据广义力的定义

Qα=∑i=1nFi⋅∂ri∂qαQα=∑i=1nFi⋅∂ri∂qα

Q_\alpha=\sum^n_{i=1}\boldsymbol{F}_i\cdot\frac{\partial \boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha}在保守场中可以由 Fi=−∇iVFi=−∇iV\boldsymbol{F}_i=-\nabla_iV得出 Qα=−∂V∂qαQα=−∂V∂qαQ_\alpha=-\frac{\partial V}{\partial q_\alpha}，从而将从达朗贝尔原理导出的

ddt(∂T∂q˙α)−∂T∂qα=Qα(1)(1)ddt(∂T∂q˙α)−∂T∂qα=Qα

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_\alpha}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_\alpha}=Q_\alpha\tag{$1$}化为拉格朗日方程（因为保守场的势能函数 VVV仅仅是广义坐标的函数）

(2)ddt(∂L∂q˙α)−∂L∂qα=0" role="presentation">ddt(∂L∂q˙α)−∂L∂qα=0(2)(2)ddt(∂L∂q˙α)−∂L∂qα=0

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}=0\tag{$2$}

上面拉格朗日方程是势能函数仅仅为广义坐标的函数的情况。需要注意的是，由达朗贝尔原理得来的(1)(1)(1)式其实不局限于保守场。现在考虑对于非保守场的情况，这时势能函数不仅是广义坐标的函数，还可能是广义速度的函数。这就需要引入广义势能函数UUU作为广义坐标和广义速度的函数，来代替原来的只是广义坐标的势能函数V" role="presentation" style="position: relative;">VVV。这时，注意到，根据广义力的定义式，经过一系列的变形，如果最终能写成如下形式

Qα=ddt(∂U∂q˙α)−∂U∂qα(3)(3)Qα=ddt(∂U∂q˙α)−∂U∂qα

Q_\alpha=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial U}{\partial \dot{q}_\alpha}\right)-\frac{\partial U}{\partial q_\alpha}\tag{$3$}则拉格朗日方程

ddt(∂L∂q˙α)−∂L∂qα=0ddt(∂L∂q˙α)−∂L∂qα=0

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}=0仍然成立，等式两边是恒等的，其中 L=T−UL=T−UL=T-U。也就是说，如果引入的广义势能函数 UUU的结构是恰当的，以至于根据广义力定义式计算、变形能得到(3)" role="presentation" style="position: relative;">(3)(3)(3)式的形式，则拉格朗日方程 (2)(2)(2)式成立，只需把新函数 UUU当做势能（L=T−U" role="presentation" style="position: relative;">L=T−UL=T−UL=T-U）。

大多数情况下，为了(3)(3)(3)式中广义力QαQαQ_\alpha中不显含广义加速度（为什么？可能因为力学系统完全由某时刻全部的位置、速度决定，而与更高阶导数无关），广义势能函数中只能包含广义速度的一次项和零次项，不包含广义速度更高次项，即

U=∑α=1sUα(q,t)q˙α+U0(q,t)U=∑α=1sUα(q,t)q˙α+U0(q,t)

U=\sum^s_{\alpha=1}U_\alpha(q,t)\dot{q}_\alpha+U_0(q,t)

单带电粒子在电磁场中的情形下（仅仅把带电粒子视为试探电荷，不考虑辐射反作用力之类的），洛伦兹力公式给出受力情况

F=e(E+v×B)F=e(E+v×B)

\boldsymbol{F}=e(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})其中

B=∇×AE=−∇φ−∂A∂tB=∇×AE=−∇φ−∂A∂t

\boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{E}=-\nabla\varphi-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}而 φ(r,t)φ(r,t)\varphi(\boldsymbol{r},t)和 A(r,t)A(r,t)\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r},t)为场的标势和矢势。用标势和矢势表示两个场，得到

F=−∇(eφ−eA⋅v)+ddt∇v(eφ−eA⋅v)F=−∇(eφ−eA⋅v)+ddt∇v(eφ−eA⋅v)

\boldsymbol{F}=-\nabla(e\varphi-e\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{v})+\frac{d}{dt}\nabla_{\boldsymbol{v}}(e\varphi-e\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{v})先试探地定义广义势能函数

U(q,q˙,t)=eφ−eA⋅vU(q,q˙,t)=eφ−eA⋅v

U(q,\dot{q},t)=e\varphi-e\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{v}这时，根据广义力的定义，广义力为

Qα=∑i=1nFi⋅∂ri∂qα=−∇U⋅∂r∂qα+(ddt∇vU)⋅∂r∂qα=−∇U⋅∂r∂qα+(ddt∇vU)⋅∂r˙∂q˙α=ddt(∂U∂q˙α)−∂U∂qαQα=∑i=1nFi⋅∂ri∂qα=−∇U⋅∂r∂qα+(ddt∇vU)⋅∂r∂qα=−∇U⋅∂r∂qα+(ddt∇vU)⋅∂r˙∂q˙α=ddt(∂U∂q˙α)−∂U∂qα

Q_\alpha=\sum^n_{i=1}\boldsymbol{F}_i\cdot\frac{\partial \boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha}=-\nabla U\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial q_\alpha}+(\frac{d}{dt}\nabla_{\boldsymbol{v}}U)\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial q_\alpha}\\=-\nabla U\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial q_\alpha}+(\frac{d}{dt}\nabla_{\boldsymbol{v}}U)\cdot\frac{\partial\dot{\boldsymbol{r}}}{\partial \dot{q}_\alpha}=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial U}{\partial \dot{q}_\alpha}\right)-\frac{\partial U}{\partial q_\alpha}正好符合 (3)(3)(3)式，因此这个广义势能函数的结构是恰当的，所以拉格朗日方程

ddt(∂L∂q˙α)−∂L∂qα=0ddt(∂L∂q˙α)−∂L∂qα=0

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}=0成立，其中 L=T−U=12mv2−(eφ−eA⋅v)L=T−U=12mv2−(eφ−eA⋅v)L=T-U=\frac{1}{2}mv^2-(e\varphi-e\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{v}).

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