【考研数学】概率论与数理统计

这个知识点比较零碎。

文章目录

1. 基础知识：连续型总体的最大似然估计法
2. 解题技巧：随机变量函数的分布
3. 解题技巧：几何数列求和
4. 基础知识：切比雪夫不等式
5. 基础知识：卡方分布，t分布，F分布
6. 解题技巧：从分布函数读取正态分布函数参数
7. 基础知识：显著性水平
8. 基础知识：无偏估计量
9. 基础知识：协方差Cov(X，Y)
10. 基础知识：相关系数
11. 解题技巧：二维正态分布
12. 知识应用：二维正态分布的条件密度
13. 解题技巧：二维连续型随机变量的边缘密度
14. 基础知识：验证离散型和连续型随机变量相互独立
15. 解题技巧：伽马函数——概统专属定积分（类正态分布）
16. 基础知识：几个分布的期望方差（均匀、泊松..）

1. 基础知识：连续型总体的最大似然估计法

2. 解题技巧：随机变量函数的分布

3. 解题技巧：几何数列求和

4. 基础知识：切比雪夫不等式

5. 基础知识：卡方分布，t分布，F分布

正态总体的抽样分布

6. 解题技巧：从分布函数读取正态分布函数参数

7. 基础知识：显著性水平

8. 基础知识：无偏估计量

9. 基础知识：协方差Cov(X，Y)

协方差的定义：

需要注意的是，协方差内部的Y可以进行加减乘除，假设题目给出Y = aX1 +bX2+c，一般需要展开计算。
Cov(X,Y)=Cov(X,aX1+bX2+c)Cov(X,Y) = Cov(X,aX_1+bX_2+c) Cov(X,Y)=Cov(X,aX1+bX2+c)
=Cov(X,aX1)+Cov(X,bX2)+Cov(X,c)= Cov(X,aX_1) + Cov(X,bX_2) + Cov(X,c) =Cov(X,aX1)+Cov(X,bX2)+Cov(X,c)
=aCov(X,X1)+bCov(X,X2)+0= aCov(X,X_1) + bCov(X,X_2) + 0=aCov(X,X1)+bCov(X,X2)+0

如果是给出方差之间的关系，则应用下面的式子：
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)D(X+Y) = D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)
推导如下：先变成协方差形式，然后再拆开。
D(X+Y)=Cov(X+Y,X+Y)D(X+Y) = Cov(X+Y,X+Y) D(X+Y)=Cov(X+Y,X+Y)
Cov(X+Y,X+Y)=Cov(X,X)+2Cov(X,Y)+Cov(Y,Y)Cov(X+Y,X+Y) = Cov(X,X) + 2Cov(X,Y) + Cov(Y,Y) Cov(X+Y,X+Y)=Cov(X,X)+2Cov(X,Y)+Cov(Y,Y)
这里的Cov（X，X） = D（X）

当然，如果是相减关系，可以看作是加上“-Y”：
D(X−Y)=D(X)+D(−Y)+2Cov(X，−Y)D(X-Y) = D(X)+D(-Y)+2Cov(X，-Y) D(X−Y)=D(X)+D(−Y)+2Cov(X，−Y)
D(X−Y)=D(X)+D(Y)−2Cov(X，Y)D(X-Y) = D(X)+D(Y)-2Cov(X，Y) D(X−Y)=D(X)+D(Y)−2Cov(X，Y)

看一道真题检验一下：

答案是B

10. 基础知识：相关系数

11. 解题技巧：二维正态分布

12. 知识应用：二维正态分布的条件密度

13. 解题技巧：二维连续型随机变量的边缘密度

14. 基础知识：验证离散型和连续型随机变量相互独立

只需验证：

P(X=u,Y≤c)=P(X=u)P(Y≤c)P(X=u,Y≤c ) = P(X=u) P(Y≤c) P(X=u,Y≤c)=P(X=u)P(Y≤c)

15. 解题技巧：伽马函数——概统专属定积分（类正态分布）

伽马函数的定义：（实数域上）

伽马函数的表达式：

也就是这样的结论：

推导如下：（靠分部积分）

特例：需要记住n不为整数（1/2）的情况：

16. 基础知识：几个分布的期望方差（均匀、泊松…）

均匀分布，期望是（a+b）/2，方差是（b-a）的平方/12。
二项分布，期望是np，方差是npq。
泊松分布，期望是λ、方差也是λ。
这里的k最小为0，记住它！
指数分布，期望是1/θ,方差是1/(θ的平方)。
正态分布，期望是u，方差是&的平方。

几何图像如下：

几何分布