上期文章中，我们谈到了存贷款业务中的五要素模型，其核心自然是利息和利率，但计息方式/周期，支取周期和到期时间这些因素同样关键，相关内容回顾请戳：

利息浅谈（二）——利息到底是怎么算的？

利息浅谈（一）——为啥钱能生息？

今天我们接着上一期，来重点聊聊定期存款的利息计算问题。

不同到期时间定期存款的比较

还记得小学老师教过：由于银行按照单利计息，超过1年期的年化利率偏低，而低于一年的偏高。

那具体是为什么呢？

其实这里的偏高偏低是有前提条件的，不同到期时间的定期存款并不能直接比较优劣。你别忘了，按照我们的五要素利息模型，定期存款对于你来说，只有唯一的到期时间取一个计息周期而已，所以利率值已经不能单独来比较这些存款了，到期时间是同样重要的因素，也就是，哪个时间能拿多少利息。如果时间不能对齐，比较就没有基准，比如你无法衡量3个月的比1年的灵活性值多少钱。因此我们比较不同到期时间的定期存款的时候，其实是有个默认假设的，即到期后可以以相同利率无缝衔接下一期。由此条件下，我们有下面的问题：

假设3个月，1年，5年三个产品，年化利率都是r，哪个产品收益更高？

我们按照假设，三者通过复利计息方式（超过一年按1年的计息周期，不足的以到期时间为计息周期算），存满1年的等效利率和为：

3个月：(1 + r / 4) ^ 4 - 1

1年：r

5年：(1 + 5r) ^ (1 / 5) - 1

显然，(1 + r / a) ^ a - 1是个增函数，极限是自然对数e相关的量。那么(1 + br) ^ (1 / b) - 1则是个减函数，a是等价计息周期和实际计息周期的比，而b则是其倒数。化成b的式子更好理解，是实际计息周期是等价利息周期的倍数，这样比例的分母会往往是标准化的一年。

可见，我们得到了小学老师教的结论：实际计息周期越长，在相同等价计息周期的利率下，按实际计息周期的复利计算的真实利率越低。比如上面的例子，b = 5的5年期的实际利率是最低的。

所以，在长期存款业务中，故意用比实际计息周期更短的1年为标准单利计息，实际上，拔高了原本可以很低成本的复利方式下的利率值，是一种变相的夸大宣传，实际银行负担的利息要比你想象的少那么一点点。当然，这一点也不违规，也是行业潜规则了，只是你如果真的没算明白，恐怕要吃那么一小丢的亏。

值得注意的是，因为假设的缘故，这种比较是理想化的，比如3个月的定期，你不知道3个月后还有没有这款产品人工地去支取计息后再存入，去达到人工复利的效果，即使有，也需要额外付出人工成本；对5年定期而言，你算的1年等效利率其实没有实际意义，因为你反正取不出来。而由于银行偏向更长更稳定的存款，其对存款人的流动性更差，银行也愿意付更多的利息，一般的多年期哪怕是等效后的年化利率，也比3个月复利上去的要高些。

所以，实际做一笔生意，利率只是考虑的起点。单就比较利率的时候，因为计息方式（计息周期），支取周期，到期时间约定等都有不同，因此，我们粗略地以复利计息方式的1年为支取周期和到期时间，不足一年产品以其原到期时间为计息周期，超过1年的以一年作为计息周期，勉强拉到同一水平上去比较他们的利率水平。当然，这里面理想化的假设和需要支付的其他成本前面也谈到了，这个比较也仅作参考，实际还要看真实的需求才行。比如你知道4年后需要这笔钱，那么5年期存款利息再高也没有意义。

复利的极限在哪里？

从前面的公式可以看到，所谓复利，可以是银行在计息周期上自动加入的，也可以是人工执行的。虽然受到最小支取周期的影响，但是我们仍然感兴趣，当最小支取周期无限小，也有人反复地存取的时候，能把在该利率下的原线性增长变为怎样一种形式？其有没有增长上限呢？

假设银行活期存款一天24小时为你开门，最小支取周期无限小，存取花费时间忽略，那么，其理论极限人工复利为：

lim(n -> infinite)(1 + r / n) ^ n - 1 =e ^ r - 1

或者用微分方程表达：

dx / dt = rx

解得：x = x(0)e ^ (rt)

所以真的理想活期，随时存取，可复利计息的话，以周期T为单位的利息增长速率r得到的真实一个T周期后的利率为e ^ r - 1。

实际上，没有银行会让你这么做，这都由计息周期和支取周期限定了，傻子才提供这种赔本还因为太复杂没听懂，赚不来吆喝的事。但其实堵不住消费者可以自己在一定程度上做，比如自己每年把自己的一年存单复投，5年后复合成一个等价的5年期存单。不过你放心，5年存单的等效复利虽然比公布的单利低点，但是要比你这么做还是要高不少的，不过银行不会承认是给你做了复投业务，而是奖励你在我这里多存了很长时间，后面这个听着更亲切。

顺便复习下活期的情况，一般是按照季度进行复利计息，一旦提前支取，一般就是就把未计息部分单利计息给你，其余整数计息周期部分已经完成了复利计息。另外其支取周期也是1天，也就是你人工的复利计息可以做到的等效最小计息周期是1天，而且分分钟因为不足1天直接清零，我的财富自由计划又要泡汤了。

顺便提醒一下，支付宝上的货币基金，以及各个银行的活期理财产品里那种每天都给你看每天收益的产品，就是给的按天计息的复利年化利率，这已经很接近无限存取后达到逼近指数复利增长的结果了。但是按天计息，提前于一年支取是比单利要低的，因为复利增长的特点就是先慢后快，因此终点相同时，在到达终点钱都是要低于单利的。因此你别以为天天计息看着很爽，但它还是虚报了一个年化收益率，就好比按照复利计算去报了一个3个月定期的年化收益率一样，而且这里实际计息周期更短，差异更大。但对于消费者而言，这点钱因为利率本身很低，所以几乎忽略不计，而对金融机构而言，这也许并不是小数目。

利息模型总结

从数学模型角度，最后总结一下。存贷款本质相同，方向相反，利率是利息相对本金的增长速度，利息因此和时间以及本金成正比。同时规定计息方式，一般以一定计息周期进行复利计息。在计息周期内，还存在最小支取周期，用户可以在这个限定内进行基于存取行为的人工复利，最后还有规定的到期时间。而在理想的无限小的支取周期条件下，人工复利可以达到的等效利率为e ^ r - 1，当r不大时，这个数也超过r不多。在实操中，我们应当从银行给出的条款，找到利率，计息方式，最小记息周期，支取周期和到期时间，由此可以推算出银行的这款产品能否满足你的资金管理需求，以及哪一款能够最大化你的收益。

最后，给出一个等效（年化）周期T的计息周期内，单利r计息，实际复利计息，理想复利计息，人工n次存取复利和理想人工复利下，资金的增长实际情况。公式和图如下：

M1 = r / T * t + 1

M2 = (r + 1) ^ (t / T)，t = T / n, 2T / n, ......, T

M3 = e ^ ((ln(1 + r) / T) * t)

M4 = (1 + r / n) ^ nt / T, t = T / n, 2T / n, ......, T

M5 = e ^ (r / T) * t

图1：不同计息情况下的资金等效增长图

大家可以看到，在一个计息周期内，单利计息的利息要比复利多，而在n次的复利计息条件下，在计息点上的资金价值和理想复利价值相同，这是因为二者对于同一终点，都保持者相同时间跨度后其资金比为同一常数，这是指数函数的性质，只不过n次复利是个采样结果罢了；不在资金点上若能在支取周期上，则非整数部分的计息周期内以单利计要高出理想复利；而人工复利模式下，复合频率越高，实际利率越高，也有自己的上限，并非无限递增。

以上就是利息五要素计算模型的全部内容。

在本系列文章开头其实有个问题：等额本金和等额本息还款，哪个更划得来？我想有了这么多内容的铺垫，你心里应该有个十分完备的答案了。没有想清楚也没有关系，我们下一篇继续道来。

我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！

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