切比雪夫逼近法设计FIR滤波器

概念

切比雪夫逼近法，是在所需要的区间[a,b]内，使误差函数E(x)=|p(x)-f(x)|较均匀一致，并且通过合理选择p(x)，使E(x)的最大值En达到最小。
切比雪夫最佳一致逼近的基本思想是，对于给定区间[a，b]上的连续函数f(x)，在所有n次多项式的集合中，寻找一个多项式，使其在[a，b]上对f(x)的偏差和其他一切属于集合的多项式对f(x)的偏差相比是最小的。
En=max|p(x)-f(x)| E(x)=p(x)-f(x)
p(x)是f(x)最佳一致逼近多项式的充要条件是E(x)在[a，b]上至少存在n+2个交错点，使得E(xi)=En或者-En，同时要满足E(xi)= -E(xi+1)。
该n+2个点为交错点组，也为E(x)的极值点。
利用切比雪夫逼近理论设计FIR数字滤波器时，满足最佳一致逼近的滤波器又具有等纹波性质。存在通带纹波以及阻带纹波。在实际求解过程中，利用数值分析中的Remez算法，靠一次次迭代来求得一组交错点组。

设计举例

%--------------------------------------------------------------------------
% FIR滤波器设计要求
% 切比雪夫逼近法：通带边缘频率0.6pi，阻带边缘频率0.7pi
% to test remez.m and to design Low-pass FIR filter;
%-------------------------------------------------------------------------
clear;
close;
clc;f=[0 .6 .7 1];
% 给定频率轴分点；
A=[1 1  0 0];
% 给定在这些频率分点上理想的幅频响应；
weigh=[1 10];
% 给定在这些频率分点上的加权；b=remez(32,f,A,weigh);
% 设计出切比雪夫最佳一致逼近滤波器；
%
[h,w]=freqz(b,1,256,1);
h=abs(h);
h=20*log10(h);
figure(1)
stem(b,'.');grid;
figure(2)
plot(w,h);grid;

左图是单位冲击响应，右图为其频响。

%--------------------------------------------------------------------------
% FIR滤波器设计要求
% 切比雪夫逼近法：Fs=500hz, 陷波 50 100 150hz
% to test remez.m and to design multi-band FIR filter;
%-------------------------------------------------------------------------
clear;
close;
clc;
% 用切比雪夫最佳一致逼近设计线性相位多带FIR滤波器；
f=[0 .14 .18 .22 .26 .34 .38 .42 .46 .54 .58 .62 .66 1];
A=[1 1  0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1];
weigh=[8 1 8 1 8 1 8];
b=remez(64,f,A,weigh);
%
[h,w]=freqz(b,1,256,1);
hr=abs(h);
h=abs(h);
h=20*log10(h);
figure(1)
stem(b,'.');grid;
figure(2)
plot(w,h);grid;

左图是单位冲击响应，右图为其频响。

滤波器设计总结

下面列出胡广书版的信号处理对滤波器设计的总结：
IIR可取到非常好的通带和阻带的衰减，得到精准的通带阻带的边缘频率，且计算量小。缺点是不具有线性相位，且存在稳定性的问题。如果我们强调的是最大限度地去除噪声而没有别的限制，最佳选择是IIR滤波器。
FIR优点是可以取得线性相位，且没有稳定性的问题。如果不要求实时实现，可实现零相位滤波。缺点是计算量大，不易实时实现。另外，切比雪夫逼近法是公认的最佳FIR滤波器的设计方法。
梳状滤波器是针对信号中含有周期的噪声，或噪声中有周期的信号。
除了传统意义上的滤波器外，还有广泛用于多抽样率信号处理的滤波器组、基于统计意义的最优现代滤波器（维纳滤波及自适应滤波等）等各种滤波器理论和设计方法。

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