Leagal or Not - 九度 OJ 1448

题目

时间限制：1 秒内存限制：128 兆特殊判题：否
题目描述：
ACM-DIY is a large QQ group where many excellent acmers get together. It is so harmonious that just like a big family. Every day,many “holy cows” like HH, hh, AC, ZT, lcc, BF, Qinz and so on chat on-line to exchange their ideas. When someone has questions, many warm-hearted cows like Lost will come to help. Then the one being helped will call Lost “master”, and Lost will have a nice “prentice”. By and by, there are many pairs of “master and prentice”. But then problem occurs: there are too many masters and too many prentices, how can we know whether it is legal or not?We all know a master can have many prentices and a prentice may have a lot of masters too, it’s legal. Nevertheless，some cows are not so honest, they hold illegal relationship. Take HH and 3xian for instant, HH is 3xian’s master and, at the same time, 3xian is HH’s master,which is quite illegal! To avoid this,please help us to judge whether their relationship is legal or not. Please note that the “master and prentice” relation is transitive. It means that if A is B’s master ans B is C’s master, then A is C’s master.
输入：
The input consists of several test cases. For each case, the first line contains two integers, N (members to be tested) and M (relationships to be tested)(2 <= N, M <= 100). Then M lines follow, each contains a pair of (x, y) which means x is y’s master and y is x’s prentice. The input is terminated by N = 0.TO MAKE IT SIMPLE, we give every one a number (0, 1, 2,…, N-1). We use their numbers instead of their names.
输出：
For each test case, print in one line the judgement of the messy relationship.If it is legal, output “YES”, otherwise “NO”.
样例输入：
3 2
0 1
1 2
2 2
0 1
1 0
0 0
样例输出：
YES
NO

该题大意为，在一个 qq 群里有着许多师徒关系，如 A 是 B 的师父，同时 B是 A 的徒弟，一个师父可能有许多徒弟，一个徒弟也可能会有许多不同的师父。输入给出该群里所有的师徒关系，问是否存在这样一种非法的情况：以三个人为例，即 A 是 B 的师父，B 是 C 的师父，C 又反过来是 A 的师父。若将该群里的所有人都抽象成图上的结点，将所有的师徒关系都抽象成有向边（由师父指向徒弟），该实际问题就转化为一个数学问题——该图上是否存在一个环，即判断该图是否为有向无环图。

无论何时，当需要判断某个图是否属于有向无环图时，都需要立刻联想到拓扑排序。若一个图存在符合拓扑次序的结点序列，则该图为有向无环图；反之，该图为非有向无环图。也就是说，若在该图上拓扑排序成功，该图为有向无环图；反之，则存在环路。

补充

标准模板库中又一个标准模板：std::queue,它的用处为建立一个队列并完成相关的操作。使用代码：queue<int> Q;将建立一个保存对象为int的队列Q，其相关操作如下：

Q.push(x);//将元素x放入对尾
x=Q.front();//读取对头元素，将其值赋值给x
Q.pop();//对头元素弹出
Q.empty();//判断队列是否为空，若返回值为true代表队列为空

为了保存在拓扑排序中不断出现的和之前已经出现的入度为 0 的结点，我们使用一个队列。每当出现一个入度为 0 的结点，将其放入队列；若需要找到一个入度为 0 的结点，就从对头取出。值得一提的是，这里使用队列仅仅为了保存入度为 0 的结点，而与队列先进先出的性质无关，也可以使用堆栈来保存，这与拓扑排序本身的原理无关。

#include <stdio.h>
#include <vector>
#include <queue>using namespace std;vector<int> edge[501];
//邻接链表，因为边不存在权值，
//只需保存与其邻接的结点编号即可
//所以vector中的元素为int
queue<int> Q;//保存入度为0的结点的队列int main()
{int inDegree[501];//统计每个结点的入度int n,m;while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){if(n==0 && m==0)break;for(int i=0;i<n;i++){//初始化所有结点，注意本题结点编号由0到n-1inDegree[i]=0;//初始化入度信息，所有结点入度为0edge[i].clear();//清空邻接链表}while(m--){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);//读入一条由a指向b的有向边inDegree[b]++;//又出现了一条弧头指向b的边，累加结点b的入度edge[a].push_back(b);//将b加入a的邻接链表}while(Q.empty()==false)Q.pop();//若队列非空，则一直弹出队头元素，//该操作的目的为清空队列中所有的元素//（可能为上一组测试数据中遗留的数据）for(int i=0;i<n;i++){//统计所有结点的入度if(inDegree[i]==0)Q.push(i);//若结点入度为0，则将其放入队列}int cnt=0;//计数器，初始值为0，用于累加已经确定//拓扑排序的结点个数while(Q.empty()==false){//当队列中入度为0的结点未被取完时，重复int nowP=Q.front();//读出队头结点编号，本例不需要求出确定的拓扑序列，//所以不做处理;若要求求出确定的拓扑次序，则将该结点//紧接着放在已经确定的拓扑序列之后Q.pop();//弹出队头元素cnt++;//被确定的结点个数加1for(int i=0;i<edge[nowP].size();i++){//将该结点以及以其为弧尾的所有边去除inDegree[edge[nowP][i]]--;//去除某条边后，该边所指后继结点入度减1if(inDegree[ edge[nowP][i] ]==0){//若该结点入度变为0Q.push(edge[nowP][i]);//将其放入队列当中}}}if(cnt==n)puts("YES");//若所有结点都能被确定拓扑序列，//则原图为有向无环图else puts("NO");//否则原图为非有向无环图}return 0;
}

该代码中所有结点至多进入队列一次，但在每个结点被取出时都要遍历以其为弧尾的边，固复杂度为 O（N+E），其中 N 为结点的个数，E 为边的个数。

如本题所示，很多涉及拓扑排序的问题都没有直接给出图，而是将图隐藏在一个实际问题当中，需要将实际问题抽象成一个图论问题，而这恰恰是所有图论题共同的难点。

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