几种 Proximity Graphs 的单调性分析

引言

最近，基于近邻图的近似最近邻搜索算法（ANNS）取得了最优的效率和精度权衡。在图索引上，路径的单调性对相关ANNS算法的搜索性能起着至关重要的影响。几种当前最优的ANNS算法比如HNSW，NSG普遍能使搜索路径尽可能的单调递减，从而避免由于“绕远路”而降低搜索效率。本文介绍的几种proximity graphs是这些ANNS算法的基础，与当前的实用算法相比，这些proximity graphs有着严格的形式化定义，这给理论分析相关性质带来便利，从而也给实用的ANNS算法提供理论保证和优化方向。接下来，我们主要分析proximity graphs的单调性，proximity graphs包括德劳内图（Delaunay Graph, 它与voronoi diagram对偶）、Relative Neighborhood Graph (RNG)、Gabriel Graph (GG)、Minimum Spanning Trees (MST)。

首先给出结论：Delaunay Graph 是单调的图，而RNG, GG和MST都不是单调的图。

何为图的单调性

在此之前，我们需要先了解一下什么是单调路径？对于图G上的一个m个依次邻接的顶点形成的路径(v1,v2,⋯,vm)(v_{1},v_{2},\cdots, v_{m})(v1,v2,⋯,vm)，若dist(v1,vm)>dist(v2,vm)>⋯>dist(vm−1,vm)dist(v_1,v_m) > dist (v_2, v_m) > \cdots > dist(v_{m-1},v_m)dist(v1,vm)>dist(v2,vm)>⋯>dist(vm−1,vm)，则该路径是一条单调路径，dist(,)dist(,)dist(,)表示两个顶点之间的距离。如果一个图G的任意两个顶点之间均存在单调路径，则图G便是单调图了。

如何证明一个图不是单调的

只需要举一个反例就行了。任意画几个点，分别根据RNG, GG和MST的定义建立相应的图结构，很容易找到不存在单调路径的例子。

证明DG是单调的

下面证明DG是单调的。在此之前先给出一个定理。

定理1. 对于DG中的任意两个顶点vav_ava和vjv_jvj，存在一个德劳内边eake_{ak}eak满足d(vk,vj)<d(va,vj)d(v_k, v_j) < d(v_a, v_j)d(vk,vj)<d(va,vj)。

证明：给定在数据集S上的DG。vav_ava可能在DG的边界（如图1(a)）或在DG的内部（如图1(b)）两种情况。但无论哪一种情况，vav_ava对应的Voronoi diagram（图1中虚线围成的绿色多边形区域，记为V(va)V(v_a)V(va)）都不包含其它点（这是由定义保证的），所以vjv_jvj一定落在V(va)V(v_a)V(va)外面。因此，连接vav_ava和vjv_jvj的线段一定经过V(va)V(v_a)V(va)的至少一条边。记这条边为eake_{ak}eak的垂直平分线hakh_{ak}hak，vjv_jvj和vkv_kvk在hakh_{ak}hak的同一侧，故d(vk,vj)<d(va,vj)d(v_k, v_j) < d(v_a, v_j)d(vk,vj)<d(va,vj)。

图1 (a)$v_a$位于边界，(b)$v_a$位于内部

下面证明DG是单调的。

证明：我们只需证明DG中的任意两个点vav_ava和vjv_jvj，总存在一条由vav_ava至vjv_jvj的单调路径。若vjv_jvj是vav_ava的邻居，则单调路径是显然的。接下来，我们考虑vav_ava与vjv_jvj不邻接的情况。根据定理1，存在一条边eak1e_{ak_1}eak1，满足d(vk1,vj)<d(va,vj)d(v_{k_1},v_j) < d(v_a,v_j)d(vk1,vj)<d(va,vj)，存在边ek1k2e_{k_{1}k_2}ek1k2，满足d(vk2,vj)<d(vk1,vj)d(v_{k_2}, v_j) < d(v_{k_1},v_j)d(vk2,vj)<d(vk1,vj) … …，最终，存在边ekije_{k_ij}ekij，满足d(vj,vj)<d(vki),vj)d(v_j, v_j) < d(v_{k_i)},v_j)d(vj,vj)<d(vki),vj)。从而路径(va,vk1,⋯,vki,vj)(v_a, v_{k_1}, \cdots,v_{k_i},v_{j})(va,vk1,⋯,vki,vj)满足d(va,vj)>d(vk1,vj)>d(vk2,vj)>⋯>d(vki,vj)>d(vj,vj)d(v_a, v_j) > d(v_{k_1}, v_j) > d(v_{k_2},v_j) > \cdots > d(v_{k_i},v_j) > d(v_j, v_j)d(va,vj)>d(vk1,vj)>d(vk2,vj)>⋯>d(vki,vj)>d(vj,vj)，即是一条单调路径。

RNG几乎是单调的

虽然不能确保RNG是单调的，但在大部分情况下RNG是单调的，而且RNG是几乎所有单调图的子图。

图2 边$e_{ik}$不属于RNG

如图2所示，边eij∈e_{ij} \ineij∈ RNG，则lune(i,j)lune(i,j)lune(i,j)（红色圆弧包围的部分）是空的，即里面没有其它点（RNG的定义决定的）。因此，一条从viv_ivi至vjv_jvj且不包含eije_{ij}eij的单调路径的中间点必然落在红色圆弧上，即图3所示的vk1v_{k_1}vk1。

图3 边$e_{ij}$是冗余边

在图3中，(vi,vk1,vj)(v_i, v_{{k_1}},v_j)(vi,vk1,vj)是单调路径，此时，eije_{ij}eij就是冗余边，因为可通过其它单调路径由viv_ivi到vjv_jvj。因此，就RNG而言，若存在冗余边，则可替代单调路径的中间点必须落在图2的红色圆弧上，发生这种情况的概率是非常小的。

参考文献

Kurup, G. D. (1992). A database organized on the basis of similarities with applications in computer vision.

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