文章目录

一、理论基础
- 1、非洲秃鹫优化算法(AVOA)
- - 1.1 第一阶段：确定任何一组中最好的秃鹫
  - 1.2 第二阶段：秃鹫的饥饿率
  - 1.3 第三阶段：探索
  - 1.4 第四阶段：开发
  - - 1.4.1 开发(第一阶段)
    - - 1.4.1.1 食物竞争
      - 1.4.1.2 秃鹫的旋转飞行
    - 1.4.2 开发(第二阶段)
    - - 1.4.2.1 几种秃鹫在食物源上的聚集
      - 1.4.2.2 对食物的激烈竞争
- 2、AVOA流程图
二、仿真实验与分析
- 1、函数测试与数值分析
- 2、AVOA优化WSN覆盖
- - 2.1 节点覆盖模型
  - 2.2 实验分析
三、参考文献

一、理论基础

本文从非洲秃鹫的生活方式出发，提出了一种新的元启发式算法，该算法被称为非洲秃鹫优化算法(African vultures optimization algorithm, AVOA)，模拟了非洲秃鹫的觅食和导航行为。

1、非洲秃鹫优化算法(AVOA)

基于秃鹫的基本概念和为模拟人造秃鹫优化算法原始文献中提出的四个假设，提出的算法进一步分为四个步骤。

1.1 第一阶段：确定任何一组中最好的秃鹫

初始种群形成后，计算所有解的适应度，选择最佳解作为第一组的最佳秃鹫，选择次优解作为第二组的最佳秃鹫，使用式(1)的其他解向第一组和第二组的最佳解移动。在每次适应度迭代中，将重新计算整个总体。R(i)={BestVulture1ifpi=L1BestVulture2ifpi=L2(1)R(i)=\begin{dcases}BestVulture_1\quad if\,\, p_i=L_1\\BestVulture_2\quad if\,\, p_i=L_2\end{dcases}\tag{1}R(i)={BestVulture1ifpi=L1BestVulture2ifpi=L2(1)在式(1)中，计算选择所选秃鹫以将其他秃鹫移向每组中的最佳个体之一的概率，其中L1L_1L1和L2L_2L2为搜索操作之前给定的参数，其值介于0和1之间，且两个参数之和为1。使用轮盘赌轮(式(2))获得选择最佳解的概率，并为每组选择每个最佳解。pi=Fi∑i=1nFi(2)p_i=\frac{F_i}{\sum_{i=1}^nF_i}\tag{2}pi=∑i=1nFiFi(2)如果α\alphaα参数的值接近1，β\betaβ参数的值接近0，在AVOA中，它将使得搜索能力增强。此外，如果β\betaβ参数的值接近1，而α\alphaα参数的值接近0，则会导致AVOA的种群多样性增加。

1.2 第二阶段：秃鹫的饥饿率

受秃鹫吃饱或饥饿速度的启发，使用式(4)进行数学建模，它也被用来从探索阶段转移到开发阶段。饱腹率呈下降趋势，使用式(4)模拟这种行为。t=h×(sin⁡ω(π2×Iterationimaxiterations)+cos⁡(π2×Iterationimaxiterations)−1)(3)t=h×\left(\sin^\omega\left(\frac\pi2×\frac{Iteration_i}{maxiterations}\right)+\cos\left(\frac\pi2×\frac{Iteration_i}{maxiterations}\right)-1\right)\tag{3}t=h×(sinω(2π×maxiterationsIterationi)+cos(2π×maxiterationsIterationi)−1)(3)F=(2×rand1+1)×z×(1−Iterationimaxiterations)+t(4)F=(2×rand_1+1)×z×\left(1-\frac{Iteration_i}{maxiterations}\right)+t\tag{4}F=(2×rand1+1)×z×(1−maxiterationsIterationi)+t(4)其中，FFF表示秃鹫已经吃饱，IterationiIteration_iIterationi表示当前迭代次数，maxiterationsmaxiterationsmaxiterations表示最大迭代次数，zzz是介于-1到1并且每次迭代都变化的随机数，hhh是介于-2到2之间的随机数，rand1rand_1rand1是介于0到1之间的随机数。当zzz值降到0以下时，表示秃鹫饿了，如果zzz值增加到0，则表示秃鹫吃饱了。
秃鹫总数的比例在下降，而且随着每次重复，下降的幅度更大。当∣F|F∣F的值大于1时，秃鹫在不同区域寻找食物，AVOA进入探索阶段；如果∣F|F∣F的值小于1，AVOA进入开发阶段，秃鹫在最佳解的附近寻找食物。

1.3 第三阶段：探索

在AVOA中，秃鹫可以检查不同的随机区域，这可以基于两种不同的策略，并使用一个称为P1P_1P1的参数来选择任一策略。此参数必须在搜索操作之前赋值，且其值应介于0和1之间，以确定如何使用这两种策略。
要在探索阶段选择哪种策略，需要生成一个介于0和1之间的随机数randP1rand_{P_1}randP1。如果randP1rand_{P_1}randP1大于或等于P1P_1P1参数，则使用式(6)探索；但是，如果randP1rand_{P_1}randP1小于参数P1P_1P1，则使用式(8)探索。在这种情况下，每只秃鹫都会在环境中随机搜索使它感到饱腹感的区域，该过程如式(5)所示。P(i+1)={Equation(6)ifP1≥randP1Equation(8)ifP1<randP1(5)P(i+1)=\begin{dcases}Equation(6)\quad if \,\,P_1≥rand_{P_1}\\Equation(8)\quad if\,\,P_1<rand_{P_1}\end{dcases}\tag{5}P(i+1)={Equation(6)ifP1≥randP1Equation(8)ifP1<randP1(5)P(i+1)=R(i)−D(i)×F(6)P(i+1)=R(i)-D(i)×F\tag{6}P(i+1)=R(i)−D(i)×F(6)D(i)=∣X×R(i)−P(i)∣(7)D(i)=|X×R(i)-P(i)|\tag{7}D(i)=∣X×R(i)−P(i)∣(7)根据式(6)，秃鹫在两组最佳小组之一的随机距离附近随机搜索食物，其中P(i+1)P(i+1)P(i+1)是下一次迭代中的秃鹫位置向量，FFF是当前迭代中使用式(4)获得的秃鹫饱腹率。在式(7)中，R(i)R(i)R(i)是最佳秃鹫之一，在当前迭代中通过使用式(1)来选择。此外，XXX是秃鹫随机移动的地方，以保护食物免受其他秃鹫的伤害。XXX被用作增加随机运动的系数向量，随机运动在每次迭代中都会发生变化，并使用公式X=2×randX=2×randX=2×rand获得，其中randrandrand是介于0和1之间的随机数；P(i)P(i)P(i)是秃鹫当前的矢量位置。P(i+1)=R(i)−F+rand2×((ub−lb)×rand3+lb)(8)P(i+1)=R(i)-F+rand_2×((ub-lb)×rand_3+lb)\tag{8}P(i+1)=R(i)−F+rand2×((ub−lb)×rand3+lb)(8)在式(8)中，R(i)R(i)R(i)是通过在当前迭代中使用式(1)选择的最佳秃鹫之一，FFF是在当前迭代中使用式(4)(4)(4)获得的秃鹫饱腹率，rand2rand_2rand2的随机值介于0和1之间，lblblb和ububub表示变量的上界和下界，rand3rand_3rand3用于增加随机性系数。如果rand3rand_3rand3取接近1的数字，它会以相似的模式分布解决方案，这会随lblblb添加一个随机运动。它会在搜索环境尺度上创建一个高随机系数，以增加多样性并搜索不同的搜索空间区域。在AVOA中，最简单的模型被用来模拟秃鹫的运动。

1.4 第四阶段：开发

1.4.1 开发(第一阶段)

当值∣F∣|F|∣F∣介于0.5和1之间时，AVOA进入开发阶段的第一阶段。在第一阶段，执行两种不同的旋转飞行和围攻策略。P2P_2P2用于确定每个策略的选择，在执行搜索操作之前必须对其进行赋值，并且该值应介于0和1之间。在该阶段开始时，生成randP2rand_{P_2}randP2，它是一个介于0和1之间的随机数。如果该数字大于或等于参数P2P_2P2，则围攻策略将缓慢实施；然而，如果该随机数小于参数P2P_2P2，则执行旋转飞行策略。该过程如式(9)所示。P(i+1)={Equation(10)ifP2≥randP2Equation(13)ifP2<randP2(9)P(i+1)=\begin{dcases}Equation(10)\quad if\,\,P_2≥rand_{P_2}\\Equation(13)\quad if\,\,P_2<rand_{P_2}\end{dcases}\tag{9}P(i+1)={Equation(10)ifP2≥randP2Equation(13)ifP2<randP2(9)

1.4.1.1 食物竞争

当∣F∣≥0.5|F|≥0.5∣F∣≥0.5时，秃鹫相对，能量充足。当许多秃鹫聚集在一个食物源上时，它们可能会在食物获取上引起严重的冲突。在这种时候，身体强壮的秃鹫更喜欢不与其他秃鹫分享食物。
另一方面，弱小的秃鹫试图通过聚集在健康的秃鹫周围并引发小冲突来使其疲劳，以便从健康的秃鹫那里获取食物。式(10)和式(11)用于对该步骤建模。P(i+1)=D(i)×(F+rand4)−d(t)(10)P(i+1)=D(i)×(F+rand_4)-d(t)\tag{10}P(i+1)=D(i)×(F+rand4)−d(t)(10)d(y)=R(i)−P(i)(11)d(y)=R(i)-P(i)\tag{11}d(y)=R(i)−P(i)(11)其中，D(i)D(i)D(i)用式(7)计算；FFF是秃鹫的饱腹率，用式(4)计算；rand4rand_4rand4是介于0到1之间的随机数，用于增加随机系数。在式(11)中，R(i)R(i)R(i)是在当前迭代中使用式(1)选择的两组中的最佳秃鹫之一，P(i)P(i)P(i)是秃鹫的当前位置向量，通过该位置向量可获得当前秃鹫与两组中的最佳秃鹫之一的距离。

1.4.1.2 秃鹫的旋转飞行

秃鹫经常进行旋转飞行，用于模拟螺旋运动。螺旋模型已用于旋转飞行的数学建模。在这种方法中，所有秃鹫和两个最佳秃鹫中的一个之间建立了一个螺旋方程。旋转飞行用式(12)和(13)表示。S1=R(i)×(rand5×Pi2π)×cos⁡(P(i))S2=R(i)×(rand5×Pi2π)×sin⁡(P(i))(12)S_1=R(i)×\left(\frac{rand_5×P_i}{2\pi}\right)×\cos(P(i))\\S_2=R(i)×\left(\frac{rand_5×P_i}{2\pi}\right)×\sin(P(i))\tag{12}S1=R(i)×(2πrand5×Pi)×cos(P(i))S2=R(i)×(2πrand5×Pi)×sin(P(i))(12)P(i+1)=R(i)−(S1+S2)(13)P(i+1)=R(i)-(S_1+S_2)\tag{13}P(i+1)=R(i)−(S1+S2)(13)其中，R(i)R(i)R(i)表示当前迭代中两个最佳秃鹫中的一个的位置向量，其使用式(1)获得；cos⁡\coscos和sin⁡\sinsin分别表示正弦和余弦的函数；rand5rand_5rand5和rand6rand_6rand6是介于0和1之间的随机数；S1S_1S1和S2S_2S2通过式(12)计算。最后，通过使用式(13)，更新秃鹫的位置。

1.4.2 开发(第二阶段)

在开发的第二阶段，两只秃鹫的行动在食物源上聚集了几种类型的秃鹫，并展开了围攻和争夺食物的侵略斗争。如果∣F∣|F|∣F∣小于0.5，则执行算法的此阶段。在该阶段开始时，生成randP3rand_{P_3}randP3，这是一个介于0和1之间的随机数。如果randP3rand_{P_3}randP3大于或等于参数P3P_3P3，则策略是在食物源上累积几种类型的秃鹫；否则，如果生成的值小于参数P3P_3P3，实施围攻作战策略。该过程如式(14)所示。P(i+1)={Eq.16ifP3≥randP3Eq.17ifP3<randP3(14)P(i+1)=\begin{dcases}Eq.16\quad if\,\,P_3≥rand_{P_3}\\Eq.17\quad if\,\,P_3<rand_{P_3}\end{dcases}\tag{14}P(i+1)={Eq.16ifP3≥randP3Eq.17ifP3<randP3(14)

1.4.2.1 几种秃鹫在食物源上的聚集

所有秃鹫向食物来源的移动都被检查过。有时，秃鹫会挨饿，而且会有大量的食物竞争，可能会在一个食物来源上积累几种秃鹫。式(15)和(16)被用来描述秃鹫的这种运动。A1=BestVulture1(i)−BestVulture1(i)×P(i)BestVulture1(i)−P(i)2×FA2=BestVulture2(i)−BestVulture2(i)×P(i)BestVulture2(i)−P(i)2×F(15)A_1=BestVulture_1(i)-\frac{BestVulture_1(i)×P(i)}{BestVulture_1(i)-P(i)^2}×F\\A_2=BestVulture_2(i)-\frac{BestVulture_2(i)×P(i)}{BestVulture_2(i)-P(i)^2}×F\tag{15}A1=BestVulture1(i)−BestVulture1(i)−P(i)2BestVulture1(i)×P(i)×FA2=BestVulture2(i)−BestVulture2(i)−P(i)2BestVulture2(i)×P(i)×F(15)在式(15)中，BestVulture1(i)BestVulture_1(i)BestVulture1(i)是当前迭代中第一组的最佳秃鹫，BestVulture2(i)BestVulture_2(i)BestVulture2(i)是当前迭代中第二组的最佳秃鹫，FFF是秃鹫饱腹率，使用式(4)计算，P(i)P(i)P(i)是秃鹫的当前位置向量。P(i+1)=A1+A22(16)P(i+1)=\frac{A_1+A_2}{2}\tag{16}P(i+1)=2A1+A2(16)最后，使用式(16)对所有秃鹫进行融合，其中A1A_1A1和A2A_2A2通过使用式(15)获得，P(i+1)P(i+1)P(i+1)是下一次迭代中秃鹫位置的向量。

1.4.2.2 对食物的激烈竞争

当∣F∣<0.5|F|<0.5∣F∣<0.5时，领头的秃鹫变得饥饿和虚弱，没有足够的能量对付其他秃鹫。另一方面，其他秃鹫在寻找食物时也变得咄咄逼人。它们朝着头秃鹫的不同方向移动。式(17)用于对该运动建模。P(i+1)=R(i)−∣d(t)∣×F×Levy(d)(17)P(i+1)=R(i)-|d(t)|×F×Levy(d)\tag{17}P(i+1)=R(i)−∣d(t)∣×F×Levy(d)(17)其中，d(t)d(t)d(t)表示秃鹫与两组中最好的秃鹫之间的距离，该距离通过式(11)计算得出。莱维飞行机制已用于提高式(17)中AVOA的有效性，莱维飞行已被识别并用于许多元启发式算法的活动中。使用式(18)计算莱维飞行。LF(x)=0.01×u×σ∣v∣1β,σ=(Γ(1+β)×sin⁡(πβ2)Γ(1+β2)×β×2β−12)1β(18)LF(x)=0.01×\frac{u×\sigma}{|v|^{\frac1\beta}},\sigma=\left(\frac{\Gamma(1+\beta)×\sin(\frac{\pi\beta}{2})}{\Gamma\left(\frac{1+\beta}{2}\right)×\beta×2^{\frac{\beta-1}{2}}}\right)^{\frac1\beta}\tag{18}LF(x)=0.01×∣v∣β1u×σ,σ=⎝⎛Γ(21+β)×β×22β−1Γ(1+β)×sin(2πβ)⎠⎞β1(18)在式(18)中，ddd表示问题维度，βββ是固定的默认值1.5。uuu和vvv服从正态分布：u∼N(0,σ2),v∼N(0,1)(19)u\sim N(0,\sigma^2),v\sim N(0,1)\tag{19}u∼N(0,σ2),v∼N(0,1)(19)

2、AVOA流程图

AVOA流程图如图1所示。

图1 AVOA流程图

二、仿真实验与分析

1、函数测试与数值分析

将AVOA与SSA、WOA、MFO、TLBO、GWO进行对比，以文献[1]中的F2、F3(单峰函数/30维)、F11、F12(多峰函数/30维)、F17、F18(固定维度多峰函数/2维)为例，种群规模设置为30，最大迭代次数设置为500，每个算法独立运算30次，以最差值、最优值、平均值、标准差和Wilcoxon秩和检验为评价指标，结果显示如下：

函数：F2
SSA：最差值: 4.7113,最优值:0.25227,平均值:2.2861,标准差:1.1523,秩和检验:3.0199e-11
WOA：最差值: 2.9481e-49,最优值:3.5131e-59,平均值:1.1821e-50,标准差:5.43e-50,秩和检验:3.0199e-11
MFO：最差值: 80.5486,最优值:0.11361,平均值:30.8303,标准差:24.1365,秩和检验:3.0199e-11
TLBO：最差值: 3.9672e-45,最优值:1.4296e-46,平均值:1.0322e-45,标准差:8.6697e-46,秩和检验:3.0199e-11
GWO：最差值: 2.4005e-16,最优值:2.0182e-17,平均值:8.988e-17,标准差:5.8338e-17,秩和检验:3.0199e-11
AVOA：最差值: 1.489e-170,最优值:3.672e-200,平均值:5.2067e-172,标准差:0,秩和检验:1
函数：F3
SSA：最差值: 4430.5818,最优值:356.2895,平均值:1448.6364,标准差:964.9947,秩和检验:2.8003e-11
WOA：最差值: 79459.9203,最优值:8879.5097,平均值:43690.451,标准差:16656.8923,秩和检验:2.8003e-11
MFO：最差值: 42019.8008,最优值:3243.8132,平均值:19331.9711,标准差:10238.671,秩和检验:2.8003e-11
TLBO：最差值: 6.673e-17,最优值:5.1189e-22,平均值:3.2025e-18,标准差:1.2219e-17,秩和检验:2.8003e-11
GWO：最差值: 0.00052778,最优值:1.1358e-07,平均值:3.2361e-05,标准差:0.00010317,秩和检验:2.8003e-11
AVOA：最差值: 3.3221e-292,最优值:0,平均值:1.1074e-293,标准差:0,秩和检验:1
函数：F11
SSA：最差值: 0.053125,最优值:0.0013881,平均值:0.01687,标准差:0.012475,秩和检验:1.2118e-12
WOA：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0,秩和检验:NaN
MFO：最差值: 91.0712,最优值:0.46323,平均值:19.0191,标准差:36.4813,秩和检验:1.2118e-12
TLBO：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0,秩和检验:NaN
GWO：最差值: 0.061021,最优值:0,平均值:0.0056342,标准差:0.013036,秩和检验:0.0055843
AVOA：最差值: 0,最优值:0,平均值:0,标准差:0,秩和检验:NaN
函数：F12
SSA：最差值: 14.057,最优值:1.3708,平均值:6.992,标准差:2.6208,秩和检验:3.0199e-11
WOA：最差值: 0.55725,最优值:0.005229,平均值:0.060197,标准差:0.12452,秩和检验:3.0199e-11
MFO：最差值: 256000035.3814,最优值:1.7219,平均值:8533342.5813,标准差:46738996.5096,秩和检验:3.0199e-11
TLBO：最差值: 5.5272e-06,最优值:1.4329e-09,平均值:5.5223e-07,标准差:1.117e-06,秩和检验:1.698e-08
GWO：最差值: 0.15165,最优值:0.0065691,平均值:0.046973,标准差:0.028804,秩和检验:3.0199e-11
AVOA：最差值: 6.2669e-08,最优值:5.4365e-10,平均值:5.1599e-09,标准差:1.1299e-08,秩和检验:1
函数：F17
SSA：最差值: 0.39789,最优值:0.39789,平均值:0.39789,标准差:1.6331e-14,秩和检验:5.4314e-11
WOA：最差值: 0.39794,最优值:0.39789,平均值:0.39789,标准差:1.0443e-05,秩和检验:1.2118e-12
MFO：最差值: 0.39789,最优值:0.39789,平均值:0.39789,标准差:0,秩和检验:NaN
TLBO：最差值: 0.39789,最优值:0.39789,平均值:0.39789,标准差:0,秩和检验:NaN
GWO：最差值: 0.39789,最优值:0.39789,平均值:0.39789,标准差:6.0899e-07,秩和检验:1.2118e-12
AVOA：最差值: 0.39789,最优值:0.39789,平均值:0.39789,标准差:0,秩和检验:NaN
函数：F18
SSA：最差值: 3,最优值:3,平均值:3,标准差:3.1372e-13,秩和检验:6.2352e-11
WOA：最差值: 30.0083,最优值:3,平均值:3.9003,标准差:4.931,秩和检验:4.901e-05
MFO：最差值: 3,最优值:3,平均值:3,标准差:1.9843e-15,秩和检验:2.4477e-11
TLBO：最差值: 3,最优值:3,平均值:3,标准差:5.7134e-16,秩和检验:6.1623e-12
GWO：最差值: 3.0002,最优值:3,平均值:3.0001,标准差:5.7528e-05,秩和检验:8.5949e-05
AVOA：最差值: 30,最优值:3,平均值:8.4,标准差:10.9846,秩和检验:1

实验结果表明，AVOA在基准函数上的性能优于其他算法，Wilcoxon秩和检验用于统计评估，表明AVOA算法在95%置信区间的显著优势。

2、AVOA优化WSN覆盖

2.1 节点覆盖模型

本文采取0/1覆盖模型，具体描述请参考这里。

2.2 实验分析

设监测区域为50m×50m50 m×50 m50m×50m的二维平面，传感器节点个数N=35N=35N=35，其感知半径是Rs=5mR_s=5mRs=5m，通信半径Rc=10mR_c=10mRc=10m，迭代500次。初始部署、AVOA优化覆盖、AVOA算法覆盖率进化曲线如下图所示。

初始部署和最终部署的节点位置及对应的覆盖率分别为：

初始位置：
12.6401     42.0638
37.6348     30.497
12.4448     33.056
45.5183     28.8364
34.6927     8.4196
18.4286     36.689
44.2745     44.1544
36.5205     4.3621
18.4342     14.2743
49.5857     35.3914
46.4418     6.6752
37.4474     24.584
28.1024     20.4813
15.7523     35.6068
18.4632     43.3931
16.732     0.1348
10.6637     11.3828
21.5533     44.6345
42.997     2.2709
43.7747     14.0916
5.781     25.5529
22.3097     28.919
12.9408     45.4747
31.4761     30.7744
14.1083     8.3238
32.3974     45.2825
0.0062358     16.6945
24.3168     12.2891
18.9617     49.954
38.1673     44.8391
4.066     9.3146
25.674     47.9464
45.4022     23.1439
22.9897     34.524
36.6725     13.2915
初始覆盖率：0.71088
最优位置：
8.404     38.6343
38.7979     31.6315
3.2376     35.6606
45.1336     29.022
31.257     7.1601
25.3457     37.3995
44.672     41.6843
36.1135     3.1209
16.4639     18.0594
49.2603     34.587
45.3331     7.7536
36.9522     23.8496
27.6632     20.7792
15.5323     34.5359
18.8605     41.1378
20.6219     2.71
4.4176     7.2739
21.099     47.9469
45.5506     1.7997
46.0041     15.6998
6.6507     26.5908
20.6531     27.7643
13.4671     45.9088
30.002     29.5552
14.2555     8.9146
31.8526     44.435
4.7351     17.4363
25.7308     12.5888
46.4748     48.5162
37.287     46.0502
3.3417     46.611
27.6877     47.6897
46.0345     23.6848
37.2991     36.5384
36.9363     15.4944
最优覆盖率：0.86659

实验结果表明，AVOA能够有效提升WSN的区域覆盖率，使得节点分布更加均匀。

三、参考文献

[1] Benyamin Abdollahzadeh, Farhad Soleimanian Gharehchopogh, Seyedali Mirjalili. African vultures optimization algorithm: A new nature-inspired metaheuristic algorithm for global optimization problems[J]. Computers & Industrial Engineering, 2021, 158: 107408.

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