一，应用场景

1.背包问题

有一个背包，容量为4磅，现有如下物品

物品	重量	价格
吉他(G)	1	1500
音响(S)	4	3000
电脑(L)	3	2000

1）要求达到的目标为装入背包的总价值最大，并且重量不超出
2）要求装入的物品不重复

二，基本介绍

1）动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法。
2）动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
3）与分治不同的是，适用于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是相互独立的。(即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的基础上，进行进一步的求解)。
4）动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解。

三，思路分析

1）背包问题主要是指一个给定容量的背包，若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包（完全背包指的是：每种物品都有无限条件可用）。
2）这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包。
3）算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和val[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设val[i],w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：
（结合下面思路图解理解）

v[i][0] = v[0][j] = 0; //表示填入表第一行和第一列是0
当w[i] > j时：v[i][j] = v[i - 1][j]; //当准备加入新增的商品的容量大于当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
当j >= w[i]时：v[i][j] = max{v[i - 1][j],v[i - 1][j - w[i]] + val[i]} //当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量，
装入方式：v[i - 1][j]：就是上一个单元格的装入的最大值
val[i]：表示当前商品的价值
v[i - 1][j - w[i]]：装入i - 1商品，到剩余空间j - w[i]的最大值

四，思路图解

物品	重量	价格
吉他(G)	1	1500
音响(S)	4	3000
电脑(L)	3	2000

解决类似的问题可以分解成一个个的小问题进行解决，假设存在背包容量大小分为1,2,3,4的各种容量的背包(分配容量的规则为最小重量的整数倍)
背包填表过程

物品	1磅	2磅	3磅	4磅
	0	0	0	0
吉他(G)
音响(S)
电脑(L)

全0的一行表示没有商品的时候价值为0
全0的一列表示背包容量为0，什么都装不进去
1）假如现在只有吉他(G),这是不管背包容量多大，只能放一把吉他

物品	1磅	2磅	3磅	4磅
	0	0	0	0
吉他(G)	1500(G)	1500(G)	1500(G)	1500(G)
音响(S)
电脑(L)

2）假如有吉他(G)和音响(S)

物品	1磅	2磅	3磅	4磅
	0	0	0	0
吉他(G)	1500(G)	1500(G)	1500(G)	1500(G)
音响(S)	1500(G)	1500(G)	1500(G)	3000(S)
电脑(L)

当我们背包容量是1,2,3磅的时候，仍然只能放吉他，则把吉他那一行(上一行)同一列数据拷贝下来；
当背包容量为4磅的时候，发现可以放下音响，音响价值比吉他那一行(上一行)同一列的价值大，所以先放音响
3）假如有吉他(G)和音响(S)和电脑(L)

物品	1磅	2磅	3磅	4磅
	0	0	0	0
吉他(G)	1500(G)	1500(G)	1500(G)	1500(G)
音响(S)	1500(G)	1500(G)	1500(G)	3000(S)
电脑(L)	1500(G)	1500(G)	2000(L)	2000(L) + 1500(G)

当我们背包容量是1,2磅的时候，不能够放入电脑，所以把音响那一行(上一行)同一列数据拷贝下来；
当背包容量为3磅的时候，刚好能够放下电脑，且电脑价值大于音响那一行(上一行)同一列的价值，所以放入音响
当背包容量为4磅的时候，能放下电脑还剩下1磅的容量，放入能放下的最大容量即这里的吉他。

五，代码实现

package com.algorithm.dynamic;public class KnapsackProblem {public static void main(String[] args) {int[] w = {1,4,3}; //物品的重量int[] val = {1500,3000,2000};//物品的价值int m = 4; //背包的重量int n = val.length; //物品的个数//为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组int[][] path = new int[n + 1][m + 1];//创建二维数组//v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包的最大值int[][] v = new int[n + 1][m + 1];//初始化第一行和第一列，这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是0for (int i = 0;i < v.length;i++) {v[i][0] = 0; //将第一列设置为0}for (int i = 0;i < v[0].length;i++) {v[0][i] = 0;}//根据前面得到的公式来动态规划处理for (int i = 1;i < v.length;i++) { //不处理第一行 i是从1开始for (int j = 1;j < v[0].length;j++) {//公式if (w[i - 1] > j) { //因为我们的程序i是从1开始的，因此原来的公式中的w[i]修改成w[i - 1]v[i][j] = v[i - 1][j];} else {//因为我们的i是从1开始的，因此是w[i - 1]//v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j],val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);//为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接使用上面的公式，需要使用if-else类体现公式if (v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];//把当前的情况记录到pathpath[i][j] = 1;} else {v[i][j] = v[i - 1][j];}}}}//输出一下v 看看情况for (int i = 0;i < v.length;i++) {for (int j = 0;j < v[i].length;j++) {System.out.print(v[i][j] + " ");}System.out.println();}//输入最后我们是放入的哪些商品//遍历pathSystem.out.println("======================");
//        for (int i = 0;i < path.length;i++) {//            for (int j = 0;j < path[i].length;j++) {//                if (path[i][j] == 1) {//                    System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n",i);
//                }
//            }
//        }int i = path.length - 1; //行的最大下下标int j = path[0].length - 1; //列的最大下标while (i > 0 && j > 0) { //从path的最后开始找if (path[i][j] == 1) {System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n",i);j -= w[i - 1]; //w[i - 1]}i--;}}
}

六，运行结果

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爬楼梯:http://www.sohu.com/a/149075950_684445 01背包问题:https://juejin.im/post/5affed3951882567161ad511
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