知识点

单源最短路径：Dijkstra

Dikstra算法也用来解决单源最短路径问题。Dijkstra是非常高效而且稳定的算法。

Bellman-Ford算法，提到它在现实中的模型是找警察问路。在现实中 Dijkstra有另外的模型，例如多米诺骨牌，可以想象下面的场景：

在图中所有的边上排满多米诺骨牌，相当于把骨牌看成图的边。一条边上的多米诺骨牌数量和边的权值(例如长度或费用)成正比，规定所有骨牌倒下的速度都是一样的。如果在一个结点上推倒骨牌，会导致这个结点上的所有骨牌都往后面倒下去。

在起点 sss 推倒骨牌，可以观察到，从 sss 开始。它连接的边上的骨牌都逐渐倒下，并到达所有能达到的结点。在某个结点 ttt ，可能先后从不同的线路倒骨牌过来；先倒过来的骨牌，其经过的路径肯定就是从 sss 到达 ttt 的最短路径；后倒过来的骨牌，对确定结点 ttt 的最短路径没有贡献,不用管它。

从整体看,这就是一个从起点;扩散到整个图的过程。在这个过程中观察所有结点的最短路径是这样得到的:

在 sss 的所有直连邻居中，最近的邻居 uuu ，骨牌首先到达。 uuu 是第一个确定最短路径的结点。从 uuu 直连到 sss 的路径肯定是最短的,因为如果 uuu 绕道别的结点到 sss ，必然更远。
然后，把后面骨牌的倒下分成两个部分，一部分是从 sss 继续例下到 sss 的其他的直连邻居，另一部分是从 uuu 出发倒下到 uuu 的直连邻居。那么下一个到达的结点 vvv 必然是 sss 或者 uuu 的一个直连邻居。 vvv 是第二个确定最短路径的结点。
继续以上步骤，在每一次迭代过程中都能确定一个结点的最短路径。

Dijkstra算法应用了贪心法的思想，即“抄近路走"，肯定能找到最短路径。

在上述步骤中可以发现：Dijkstra的每次选代，只需要检查上次已经确定最短路径的那些结点的邻居，检查范围很小，算法是高效的；每次迭代，都能得到至少一个结点的最短路径，算法是稳定的。

与Bellman Ford 对比:

Bellman-Ford 是分布式的思想;面 Dijkstra必须从起点s开始扩散和计算，是集中式的思想。读者可以试试在多米诺骨牌模型中运用Bellman-Ford,看看行不行。

算法实现


//算法7.15
void ShortestPath_DIJ(MGraph G, int v0, PathMatrix &P, ShortPathTable &D){
/*  用Dijkstra算法求有向网G的v0顶点到其余顶点v的最短路径P[v]及带权长度 D[v]。若P[v][w]为TRUE,则w是从v0到v当前求得最短路径上的顶点。 final[v]为TRUE当且仅当v∈S,即已经求得从v0到v的最短路径 算法7.15 */int v, w, i, j, min;Status final[MAX_VERTEX_NUM];for (v = 0; v < G.vexnum; ++v){final[v] = FALSE;D[v] = G.arcs[v0][v].adj;for (w = 0; w < G.vexnum; ++w)P[v][w] = FALSE; if (D[v] < INFINITY){P[v][v0] = TRUE;P[v][v] = TRUE;}}D[v0] = 0;final[v0] = TRUE;               // 初始化,v0顶点属于S集 for (i = 1; i < G.vexnum; ++i)    //其余G.vexnum-1个顶点 {                                 // 开始主循环,每次求得v0到某个v顶点的最短路径,并加v到S集 min = INFINITY;                      // 当前所知离v0顶点的最近距离 for (w = 0; w < G.vexnum; ++w)if (!final[w])                        // w顶点在V-S中 if (D[w] < min){v = w;min = D[w];}                                 //w顶点离v0顶点更近 final[v] = TRUE;                      // 离v0顶点最近的v加入S集 for (w = 0; w < G.vexnum; ++w) {     // 更新当前最短路径及距离 if (!final[w] && min < INFINITY&&G.arcs[v][w].adj < INFINITY && (min + G.arcs[v][w].adj < D[w])){D[w] = min + G.arcs[v][w].adj;for (j = 0; j < G.vexnum; ++j)P[w][j] = P[v][j];P[w][w] = TRUE;}}}
}

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;/* 函数结果状态代码 */
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define OK 1
#define ERROR 0
#define INFEASIBLE -1
#define OVERFLOW -2
typedef int Status;
typedef int Boolean;
#define MAX_NAME 5
#define MAX_INFO 20
typedef int VRType;
typedef char InfoType;
typedef char VertexType[MAX_NAME];/* ------------------  图的数组(邻接矩阵)存储表示    ----------------*/
#define INFINITY INT_MAX
#define MAX_VERTEX_NUM 20
typedef enum { DG, DN, AG, AN }GraphKind;
typedef struct{VRType adj; InfoType *info;
}ArcCell, AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
typedef struct{VertexType vexs[MAX_VERTEX_NUM];AdjMatrix arcs; int vexnum, arcnum; GraphKind kind;
}MGraph;typedef int PathMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
typedef int ShortPathTable[MAX_VERTEX_NUM];/* -----------  需要用的图的数组(邻接矩阵)存储的基本操作 -----------*/int LocateVex(MGraph G, VertexType u){
/*  初始条件:图G存在,u和G中顶点有相同特征 操作结果:若G中存在顶点u,则返回该顶点在图中位置;否则返回-1 */int i;for (i = 0; i < G.vexnum; ++i)if (strcmp(u, G.vexs[i]) == 0)return i;return -1;
}Status CreateDN(MGraph &G){int i, j, k, w, IncInfo;char s[MAX_INFO], *info;VertexType va, vb;printf("请输入有向网G的顶点数,弧数,弧是否含其它信息(是:1,否:0)(以空格作为间隔): ");scanf("%d%d%d", &G.vexnum, &G.arcnum, &IncInfo);printf("请输入%d个顶点的值(<%d个字符):\n", G.vexnum, MAX_NAME);for (i = 0; i < G.vexnum; ++i) scanf("%s", G.vexs[i]);for (i = 0; i < G.vexnum; ++i) for (j = 0; j < G.vexnum; ++j){G.arcs[i][j].adj = INFINITY; G.arcs[i][j].info = NULL;}printf("请输入%d条弧的弧尾 弧头 权值(以空格作为间隔): \n", G.arcnum);for (k = 0; k < G.arcnum; ++k){scanf("%s%s%d%*c", va, vb, &w);  i = LocateVex(G, va);j = LocateVex(G, vb);G.arcs[i][j].adj = w;if (IncInfo){printf("请输入该弧的相关信息(<%d个字符): ", MAX_INFO);gets(s);w = strlen(s);if (w){info = (char*)malloc((w + 1) * sizeof(char));strcpy(info, s);G.arcs[i][j].info = info; }}}G.kind = DN;return OK;
}//算法7.15
void ShortestPath_DIJ(MGraph G, int v0, PathMatrix &P, ShortPathTable &D){
/*  用Dijkstra算法求有向网G的v0顶点到其余顶点v的最短路径P[v]及带权长度 D[v]。若P[v][w]为TRUE,则w是从v0到v当前求得最短路径上的顶点。 final[v]为TRUE当且仅当v∈S,即已经求得从v0到v的最短路径 算法7.15 */int v, w, i, j, min;Status final[MAX_VERTEX_NUM];for (v = 0; v < G.vexnum; ++v){final[v] = FALSE;D[v] = G.arcs[v0][v].adj;for (w = 0; w < G.vexnum; ++w)P[v][w] = FALSE; if (D[v] < INFINITY){P[v][v0] = TRUE;P[v][v] = TRUE;}}D[v0] = 0;final[v0] = TRUE;               // 初始化,v0顶点属于S集 for (i = 1; i < G.vexnum; ++i)    //其余G.vexnum-1个顶点 {                                 // 开始主循环,每次求得v0到某个v顶点的最短路径,并加v到S集 min = INFINITY;                      // 当前所知离v0顶点的最近距离 for (w = 0; w < G.vexnum; ++w)if (!final[w])                        // w顶点在V-S中 if (D[w] < min){v = w;min = D[w];}                                 //w顶点离v0顶点更近 final[v] = TRUE;                      // 离v0顶点最近的v加入S集 for (w = 0; w < G.vexnum; ++w) {     // 更新当前最短路径及距离 if (!final[w] && min < INFINITY&&G.arcs[v][w].adj < INFINITY && (min + G.arcs[v][w].adj < D[w])){D[w] = min + G.arcs[v][w].adj;for (j = 0; j < G.vexnum; ++j)P[w][j] = P[v][j];P[w][w] = TRUE;}}}
}int main(){int i, j, v0 = 0; MGraph g;PathMatrix p;ShortPathTable d;CreateDN(g);ShortestPath_DIJ(g, v0, p, d);printf("最短路径数组 PathMatrix[i][j] 如下:\n");for (i = 0; i < g.vexnum; ++i){for (j = 0; j < g.vexnum; ++j)printf("%2d", p[i][j]);printf("\n");}printf("%s到各顶点的最短路径长度为：\n", g.vexs[0]);for (i = 1; i < g.vexnum; ++i)printf("%s-%s:%d\n", g.vexs[0], g.vexs[i], d[i]);return 0;
}

测试样例

请输入有向网G的顶点数,弧数,弧是否含其它信息(是:1,否:0)(以空格作为间隔): 6 8 0
请输入6个顶点的值(<5个字符):
v0 v1 v2 v3 v4 v5
请输入8条弧的弧尾 弧头 权值(以空格作为间隔):
v0 v5 100
v0 v4 30
v0 v2 10
v1 v2 5
v2 v3 50
v3 v5 10
v4 v3 20
v4 v5 60

运行结果

最短路径数组 PathMatrix[i][j] 如下:0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 01 0 1 0 0 01 0 0 1 1 01 0 0 0 1 01 0 0 1 1 1
v0到各顶点的最短路径长度为：
v0-v1:2147483647
v0-v2:10
v0-v3:50
v0-v4:30
v0-v5:60

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2021-11-25【数据结构/严蔚敏】【Dijkstra】【代码实现算法7.15】

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