真的全忘了。。。

泊松、指数、伽马分布

泊松分布：已知某事件单位时间的平均发生率 λ λ \lambda，能给出单位时间内实际上发生X次的概率。可以证明二项分布取极限（试无数次）就是泊松分布，也就是说二项分布是泊松分布在离散的时间上的对应。
指数分布：泊松过程中，第k次随机事件与第k+1次随机事件出现的时间间隔t服从指数分布，即 t∼Expotional(λ) t ∼ E x p o t i o n a l ( λ ) t\sim Expotional(\lambda) 。可以发现指数分布的累积分布函数（注意不是概率密度函数）： 1−e−λt 1 − e − λ t 1-e^{-\lambda t} 中的 e−λt e − λ t e^{-\lambda t} 就是泊松分布中t个时间内不发生事件的概率。
这个累积分布函数只是说出现，而不管出现几次，其实和直接用二项分布计算（1减去每次都不出现的概率）基本上相同，只是一个用概率的乘方，一个用 e e e来表示。比如说计算0.01概率出5星的抽卡，可以用下面的两种式子计算，而得到的函数曲线基本上是重合的。因为通过泊松分布的证明过程，可以把组合数、概率乘方变成用指数表示。（这个图可见fgo抽卡是多么难出货，要理性氪金啊！）
伽马分布：X∼Γ(α,β)" role="presentation">X∼Γ(α,β)X∼Γ(α,β)X \sim \Gamma(\alpha,\beta) 说的是事件平均概率 1β 1 β \frac{1}{\beta} 的时候等到第 α α \alpha个事件发生的时间X符合伽马分布
以上就是它们之间的关系。提这个是因为指数分布、卡方分布都是伽马分布的特例。指数分布只能表示发生事件，不能算等到发生了第k个事件的概率。后者可以用二项分布计算（也是组合数乘以概率），之后转化成用伽马分布表示。

显著性检验

Z检验

有一个来自正态分布总体的样本 Xi… X i … X_i\ldots，已知（指定）总体的 σ2 σ 2 \sigma^2，想知道总体均值 μ μ \mu和给的 μ0 μ 0 \mu_0有没有显著差异。于是零假设是 μ=μ0 μ = μ 0 \mu=\mu_0，用统计量 Z=μ−μ0σn√ Z = μ − μ 0 σ n Z=\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt n}在正态分布里找拒绝域。

t检验

单样本的

有一个来自正态分布总体的样本 Xi… X i … X_i\ldots，不知道总体的 σ2 σ 2 \sigma^2和 μ0 μ 0 \mu_0，想知道总体均值 μ μ \mu和给的 μ0 μ 0 \mu_0有没有显著差异。于是零假设是 μ=μ0 μ = μ 0 \mu=\mu_0，用样本标准差 S2 S 2 S^2代替 σ2 σ 2 \sigma^2，用统计量 t=μ−μ0Sn√∼t(n−1) t = μ − μ 0 S n ∼ t ( n − 1 ) t=\frac{\mu-\mu_0}{S\sqrt n} \sim t(n-1)在学生分布（t分布）里找拒绝域。
因为是用样本估计了总体的标准差，所以不能用正态分布了。学生分布当时被发明出来就是为了解决这个问题的，它的概率密度函数 f(t) f ( t ) f(t)里面有一个自由度（ n−1 n − 1 n-1）的参数。

双样本的、配对的等等

统计量算的方式有差别。
Minitab帮助
维基

F检验

又叫联合假设检验、方差齐性检验。t检验要求两个总体方差相等的时候就要先检验方差齐性。
有两个正态样本，想检验两个总体的方差是否有显著差异。构造统计量 F=U1/d1U2/d2 F = U 1 / d 1 U 2 / d 2 F=\frac{U_1/d_1}{U_2/d_2}， U1 U 1 U_1和 U2 U 2 U_2呈卡方分布，它们的自由度分别是 d1 d 1 d_1和 d2 d 2 d_2。

卡方分布

符合标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为 k 的卡方分布。比如有一个来自正态分布总体的样本 Xi… X i … X_i\ldots，不知道总体的 σ2 σ 2 \sigma^2和 μ0 μ 0 \mu_0，想知道总体方差 σ2 σ 2 \sigma^2和给的 σ20 σ 0 2 \sigma^2_0有没有显著差异。样本的标准差 S S S是总体标准差的无偏估计，再除以σ02" role="presentation">σ20σ02\sigma_0^2就正好凑出来一个标准正态分布。统计量 (n−1)S2σ20∼χ(n−1) ( n − 1 ) S 2 σ 0 2 ∼ χ ( n − 1 ) \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim \chi(n-1)，在卡方分布函数里找拒绝域。

线性回归中的显著性检验

检验一个回归系数

用t检验，零假设为回归系数 β β \beta是0，。从最小二乘求出回归系数的方法可知，回归系数的标准差 Sβ=σΣ(xi−x¯)2√ S β = σ Σ ( x i − x ¯ ) 2 S_\beta=\frac{\sigma}{\sqrt{\Sigma(x_i-\bar x)^2}}，但总体 y y y的标准差σ" role="presentation">σσ\sigma不知道，所以用样本的 Sy S y S_y代替。计算统计量 t=βSβ∼t(n−2) t = β S β ∼ t ( n − 2 ) t=\frac{\beta}{S_\beta} \sim t(n-2)。

检验所有的回归系数

用f检验，零假设为所有的回归系数都是0。为了验证这一点，使用了三个平方和（间接表现出零假设的影响）：
- SSM/SSR (Sum of Squares for Model/Regression)
- SSE (Sum of Squares for Error)
- SST (Sum of Squares Total)
关系：SST（样本值和样本平均值之差的平方和）=SSM（预测值和平均值之差的平方和）+ SSE（预测值和样本值之差的平方和）。顺便一提，判定系数 r2=SSMSST r 2 = S S M S S T r^2=\frac{SSM}{SST}。
把SSM和SSE都除以 σ2 σ 2 \sigma^2就能构造两个符合卡方分布的变量，相除之后消去不知道的方差。
最终得到统计量 F=SSM/pSSE/n−p−1∼F(p,n−p−1) F = S S M / p S S E / n − p − 1 ∼ F ( p , n − p − 1 ) F=\frac{SSM/p}{SSE/n-p-1} \sim F(p,n-p-1)，在F分布函数里找拒绝域。

ANOVA

主要的零假设就是几个样本的均值相等，即没有显著性差异。为了验证这一点，用的基本就是上面显著性检验的方法。
在检验两组之间的差异的时候，就可以用t检验；而在多组的时候，虽然可以两两做t检验，但是不能替代原有的假设，所以用F检验。F检验时也是用组间之差的平方和比上组内之差的平方和。跟回归系数检验里面的F检验一个道理。
总之就是没有特别的方法，就是上面方法的综合运用。

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