基于反馈的动态补偿模型
一． 补偿的数学依据和实现
数学，作为一门基础学科和应用工具，对工业应用有强大的辅助和分析功能，可以有效的建立起动态系统可量化分析的模型。
对非线性系统的分析，通常有以下几种建模方式：
1.1 分段直线段
分段直线法是通过空间分割，把系统空间看作多个小区域的线性组合，对区域内近似在同一直线上的点集作线性拟合。
优点：算法简单，系统分解和建模速度快，通过调整分段数量可以在一定范围内提高精度。
缺点：分段直线拟合精度较低，通过一系列非线性点集的误差容忍来实现均方差最小的直线拟合。通常状况下，一个系统只作4～6段区间分割，精度难以保证。在分段直线模型的折点处是一个突变，无法模拟系统的实际变化过程，对定性分析的作用有限。
扩展：分段直线折点处可以利用外切圆弧来实现平滑，单其本身也是误差放大的方式。
公式：
1.2 分段指数与多指数
对于单指数函数 ，其本身具有非常好的非线性单调特性，对非单调系统来说，可以利用多指数或者分段指数的方法来模拟
1.2.1 分段指数
同分段直线段的方法类似，分段指数函数也是把系统的定义域空间划分为多个空间区域，把严格单调的点集划分在同一区间进行拟合。
优点：分段指数可以比较精确的模拟出系统变化的过程，通过区域调整可以提高精度，计算较为简单。
缺点：区域选择困难，根据精度要求自动选择的话可能会出现局部分段过于密集的状况。和分段直线相同，在临近的两段曲线转换区域内需要利用外切圆弧作平滑补偿。
公式：
1.2.2 多指数
多指数是对系统整体空间进行分析，把系统变化过程分解为多个单调的非线性过程分量，每个分量对应一个单指数函数。
优点：精度高，模型确立后使用较为简单（不用考虑区域变化）。
缺点：计算复杂度高，对精度要求越高，其单指数分量越多，模型的计算越复杂。
公式：
计算机模拟方法：
由方程
转换为矩阵
n为设定的取值，n小于采样点数量m，通常情况下n在5以内较好。代入采样点（x,y），可以求出对应的一系列ab组合，设定精度要求产生不等式组，得出最佳解。
1.3 多次方程
多次方程是种比较简单的非线性精度控制模型，多次方程本身包含了常量、线性和非线性分量，可以比较完善的模拟出实际的系统变化过程。多次方程在非单调不规则振荡的系统模拟有比较好的效果。
优点：计算比较方便，可根据采样点的数量来调整模拟精度，能够作系统空间内整体分析，使用和维护比较简便。
缺点：在自动调整精度的计算模型中，由于模型是强制逼近的方式，无法发现和屏蔽错误采集点（ ），噪声点的影响可能会使模拟过程振荡。
公式：
计算机模拟方法：
模拟方法有两种――自动调整和人为设定
1.3.1 人为设定
首先设定方程的最高次数，建立方程后，代入各采样点，利用最小二乘法作精度控制不等式，求出最佳解。
1.3.2 自动调整
自动调整的方法是根据采样点数量自动控制方程的次数。由两点确定直线、三点确定圆近似推论n点可以确定一个n-1次的方程。由此可得：
MatrixX
n为采样点数量。对MatrixX进行迭代消元，可得出各个系数的解。
1.4 神经网络的应用
神经网络是智能计算机发展的主流方向，是非线性技术和智能化研究的主要内容之一。在工业应用中，较多的使用RBF网络和递归网络的学习和自适应系统。
RBF――径向基函数网络――由三层网络体系构成：输入层为感知单元，把系统与外界环境连接起来，第二层是一个隐层，在输入空间到隐藏空间之间作非线性变换；输出层为线性体系，为环境感知数据的响应。
公式：
其中 为任意函数（一般为线性）的集合，称作径向基函数。
递归网络是由一个或者多个反馈环的神经网络，反馈环可以是整体，也可以是局部的。递归网络也是一种多层网络体系：
l 使用从输出层反馈到输入层的非线性自回归网络（NARX）
l 具有从隐藏层到输入层反馈的完全连接递归网络
l 某一隐藏层的递归多层感知器，每个节点的自反馈
l 使用二阶神经元的递归网络
优点：算法精确，适应性高，系统稳定性好。
缺点：加入较多的硬件反馈系统，成本高，复杂度高，不太适应中小系统的开发。
每种算法都有其优缺点和适用环境，正确的选择模型是系统分析的基础。对于基本的数学算法，都是属于基本数学曲线的强制逼近，且其对环境的稳定要求较高，环境的改变可能引起系统的性能降低。
二． 成长型模型的建立原则
任何一种系统都不会独立于环境孤立存在，其运行和使用的环境也不会保持在一种状态固定不变。如何适应环境并自动作相应的改进，是建立稳定系统亟需解决的问题。
把所有的环境影响要素独立分析是一种不现实的方法，即便一个微系统，其影响要素的种类和复杂度也是相当可观的。
近似的适应方法是基于结果的动态反馈环――根据实时的位置反馈信息，以基本补正曲线为基础，切入动态调整数据，得出新的补正曲线方程。
成长型模型是以结果为导向，分析并加入当前状态下的环境影响，以基本曲线与环境曲线融合来控制当前状况下的系统补偿。成长型模型可以看做是一条振荡收敛的曲线，不断调整并捕获当前的环境加权（如下图所示）。可以看出，该模型是一种基础自适应的模型，它可以在环境变化不太大，或者结果偏离不太远的状况下保持系统的稳定运行。
需要注意的的是，对环境数据的采样周期需要满足采样定量，否则，补偿数据可能无效（如下图）。<script language="vbscript"></script>
|
系统实际状况 |
|
采样周期过长 |
由于成长型模型的输入补偿是实时采样的，对采样数据的判断需要比较严谨，对单一数据不推荐直接采用，而是多个重叠样本的误差判别后作为输入数据。
三． 模型的实例化
我们现在使用的控制平台是基于X-Y双轴的平面控制系统，可以采用多次曲线的成长模型来做实时控制。对整个例程分析如下：
3.1 分别对X、Y单轴向运动误差独立分析：
单轴向的误差为非线性系统，独立采样 N 个点 ，利用多次曲线拟合，得出误差补偿曲线 。
3.2 XY平面整体拟合：
XY平面的误差曲面为X、Y轴向复合误差，对平面中任意点 都有
相当于分别在X轴和Y轴的映射补偿，如下图所示：
3.3 实际应用中的反馈输入：
在应用过程中，反馈输入可以为线性编码器或者光栅尺的返回值，也可以是CCD等影像卡的读数。
如果整体精度满足系统需求，则不必进行动态补偿，可以人为当前状况的环境未发生变换，而系统本身稳定。如果需要动态进行补偿，则在补偿过程中可能在一定时间内会出现过补偿和欠补偿的振荡。
3.4 应用中模型：
在实际使用中，系统平面上任意两点的控制补偿为：
3.5 动态调整方式
3.5.1 区域规划
区域动态规划是适用于区域性误差放大的状况，如果在某一区域内的误差增大明显高于周围其他区域，可以利用在该区域内对误差数据作微分分解，并结合多次方程中二次项以上的微分（为其加速度增益），调整区域内的补偿数据，同时可以保证系统整体的平滑。
3.5.2 整体补偿
整体补偿是在系统整个定义域空间内，普遍或者多处非连续空间的误差超出精度要求，通过多次采样记录数据，建立补偿方程组并得相关系数。对新补偿方程进行精度验证，确定其性能。
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