二重积分x^2+y^2_计算二重积分∫∫（x+y）dxdy，其中D为x^2+y^2≤2x

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楼上错的，楼上当作矩形区域算了首先本题区域关于x轴对称62616964757a686964616fe78988e69d8331333330333562，y关于y是一个奇函数，因此积分为0，所以被积函数中的y可去掉。∫∫(x+y)dxdy=∫∫xdxdy用极坐标，x²+y²=2x的极坐标方程为：r=2cosθ=∫[-π/2---->π/2] dθ∫[0---->2cosθ] rcosθ*rdr=∫[-π/2---->π/2] cosθdθ∫[0---->2cosθ] r²dr=∫[-π/2---->π/2] (cosθ)*(1/3)r³ |[0---->2cosθ] dθ=(8/3)∫[-π/2---->π/2] cos⁴θ dθ=(16/3)∫[0---->π/2] cos⁴θ dθ=(16/3)∫[0---->π/2] [1/2(1+cos2θ)]² dθ=(4/3)∫[0---->π/2] (1+cos2θ)² dθ=(4/3)∫[0---->π/2] (1+2cos2θ+cos²2θ) dθ=(4/3)∫[0---->π/2] (1+2cos2θ+1/2(1+cos4θ)) dθ=(4/3)∫[0---->π/2] (3/2+2cos2θ+1/2cos4θ) dθ=(4/3)(3/2θ+sin2θ+1/8sin4θ) |[0---->π/2]=(4/3)(3/2)*(π/2)=π

这题的积分区域---圆域的圆心为(1/2,1/2)，半径为(√2)/2 因为圆心非原点，所以无论用直角坐标还是极坐标，上下限都不好确定。所以应想到把圆域平移到原点处，即用坐标变换。但二重积分的坐标变换涉及到雅克比公式，一般来说比较麻烦，而此题只

D可化为：来(x-1)自²+y²≤1，2113得：0≤x≤1，-1≤y≤1 1 1 1所以：∫5261∫4102(x+y)dxdy=∫ dx ∫(x+y)dy=∫ 2xdx=4 0 -1 0也可以先对x积分1653

化成极坐标，x^2+y^2≤2x，变成r=2cosθ 积分区域；0≤r≤2cosθ， π/2≤θ≤π/2，区域以X轴为上下对称，只求第一象限区域，再2倍即可， I=2∫[0,π/2] dθ∫[0,2cosθ] r*rdr =2∫[0,π/2] dθ (r^3/3)[0,2cosθ] =(2/3)∫[0,π/2] *8(cosθ)^3 dθ =(16/3)∫[0,π/

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原式=∫(上限π/2,下限-π/2) (sinθ+cosθ)dθ ∫(上限2cosθ,下限0) rdr=π内容来自www.mh456.com请勿采集。

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