高中物理：浅谈含电容的单杆模型与双杆模型的“等效“

对于高中生而言，电容往往比较“抽象”，难以理解，这也决定了含电容的单杆模型的过程分析往往具有一定的难度。过程分析的重要性不必多言——所有的计算必须建立在正确的过程分析上才有意义。
而博主下面介绍的一种思考方式，可以把“抽象”的电容相对而言地“具体化”一些，从而更快更精准地进行相关问题的过程分析。
含电容的单杆模型大概长这个样子：

高中物理则是在这个图的基础上，衍生出了电容是否带电，杆是否有初速度，杆是否受力等等的各种情况。然而菜鸡博主记性不好，只能每次从头分析，但每次分析都会花费大量时间，因此就开始寻找偷懒的分析方法。
本文所用公式中字母的含义：
磁场强度为B，导体棒有效长度为L，初速度为v0，作用于杆的恒力为F磁场强度为B，导体棒有效长度为L，初速度为v_0，作用于杆的恒力为F磁场强度为B，导体棒有效长度为L，初速度为v0，作用于杆的恒力为F
回路中的电流为I，电动势为E，导体棒电阻为R，电容大小为C，电容带电为Q回路中的电流为I，电动势为E，导体棒电阻为R，电容大小为C，电容带电为Q回路中的电流为I，电动势为E，导体棒电阻为R，电容大小为C，电容带电为Q

我们以电容不带电，导体棒有初速度，导体棒不受力的模型为例，进行具体阐释。

这大概是我觉得最简单的单杆模型了。我们首先进行常规的分析：

初态分析：
E=BLv0E=BLv_0E=BLv0
I=ERI=\frac E RI=RE
而我们知道导体棒会受到大小为BILBILBIL的阻力，因此导体棒第一瞬间会减速运动。
而电流的存在，会使得电容开始充电，同时产生一个反电动势U=QCU=\frac Q CU=CQ。

过程分析：
随着导体棒减速，E逐渐变小;随着电容带电Q增大，U逐渐增大。
因此，我们知道，随着导体棒的运动，III会逐渐变小阻力也会逐渐变小。

终态分析：
当U与E相等时，电流III消失，阻力消失，导体棒将进行匀速运动，电容不再充电。

这样常规的分析就结束了。下面，我们考虑把这个问题中初态不带电的电容想象成一根没有初速度的杆。即：

右边的这根杆就是我们问题中的有初速度的杆，左边这根杆则是我们假想的无初速度的杆。我们常规地分析一下这个双杆模型：
(为便于区别，右边的杆称之为导体棒，左边的杆称之为假想杆)

初态分析：
E=BLv0E=BLv_0E=BLv0
I=ERI=\frac E RI=RE
而我们知道导体棒会受到大小为BILBILBIL的阻力，因此导体棒第一瞬间会减速运动。
而因为电流的存在，假想杆受到安培力的作用，开始加速，具有速度v1v_1v1后会产生一个反电动势U=BLv1U=BLv_1U=BLv1。

过程分析：
随着导体棒减速，E逐渐变小;随着假想杆逐渐加速，即v1v_1v1增大，U逐渐增大。
因此，我们知道，随着导体棒的运动，III会逐渐变小阻力也会逐渐变小。

终态分析：
当U与E相等时，电流III消失，阻力消失，导体棒和假想杆将进行匀速运动，且此时速度相等。

分析完毕。对比一下这个分析和上面含容单杆的分析，我们可以发现，二者在很多地方都是相似的实际上我只是复制粘贴稍微改动：
1.定性分析而言，导体棒的运动过程是一样的。
2.随着电容电荷量的增加，电容产生的反电动势增加；随着假想杆逐渐加速，假想杆产生的反电动势增加。
3.电容先充电，然后不再充电；假想杆先加速，然后不再有加速度。

想必比菜鸡博主优秀的诸君一定已经看出了端倪——电容是可以等效为一根杆的。具体的等效如下：电容带有电荷量，可以等效为假想杆具有动量。更确切地说，是BLQBLQBLQ和mvmvmv的等效。动量的方向，等效于电容正负极板的位置(即谁在上，谁在下，即电容放电是让导体棒加速还是减速)。同时，电容的C，可以等效为假想杆的质量。更确切地说，是B2L2CB^2L^2CB2L2C和mmm的等效。综上可知，电容等效的速度为v=QCBLv=\frac Q {CBL}v=CBLQ。实际上还可以由等效的动能12mv2\frac 1 2mv^221mv2得到菜鸡博主所不知道的电容的能量公式，菜鸡博主问了下同学似乎是对的，所以这个等效模型应该没什么问题。

我们可以通过以下几个例子感受一下这种等效。

1.电容带电，导体棒无初速度，导体棒不受力
(为便于分析，我们只考虑电容带的电放出后使杆向右移动)
我们知道，这个模型可以等效为双杆模型：后面的杆有初速度，前面的杆无初速度(不考虑两杆相撞)。显然，在这个双杆模型中，前面的杆会逐渐加速，且加速度逐渐变小，直到二者共速后，两者一起做匀速直线运动。
因此我们知道，在原本的模型中，导体棒会做加速度减小的加速运动，直到匀速为止。

2.电容带电，导体棒有初速度，导体棒不受力
(为便于分析，我们只考虑电容放出的电使导体棒向右移动)
我们知道，这个模型可以等效为双杆模型：前面和后面的杆都有初速度(不考虑两杆相撞)。因此，我们可以通过比较电容等效速度和导体棒速度的大小判断，是电容放电使导体棒加速，还是电容充电同时导体棒减速。要计算最终的导体棒速度，也可以类比完全非弹性碰撞：v末=mv0+BLQm+B2L2Cv_末=\frac {mv_0+BLQ} {m+B^2L^2C}v末=m+B2L2Cmv0+BLQ，即系统的总动量除以总质量。

3.电容不带电，导体棒无初速度，导体棒受恒力
这个等效后即两根杆都没有初速度，前面这跟杆受到向前的恒力作用。这个双杆模型我们知道，最终两个杆都会以相同的加速度一起加速，如果设两个杆的质量分别为m1和m2m_1和m_2m1和m2的话，那么最终加速度为Fm1+m2\frac F {m_1+m_2}m1+m2F。而原本的模型中，我们通过常规的分析可以得到a=Fm+B2L2Ca=\frac F {m+B^2L^2C}a=m+B2L2CF，可以看出，其实就是把其中一个质量换成了电容的等效质量B2L2CB^2L^2CB2L2C。但这里值得一提的是(这也是因为高中物理太过理想)，这两个模型并不完全等效。高中物理中的电容单杆模型忽略了前面一小段时间的加速度改变的运动，认为只有匀加速的阶段。(update：后来我重新思考了一下这个问题，其实是否有前面这一小段加速度改变的运动取决于电路是否有电阻，无电阻的情况下双杆模型也是一开始就匀加速，不过高中的含容电路虽然有电阻，但是一般也忽略了前面非匀加速的运动)因此这两个模型在开始的阶段有细小的区别：双杆模型中，受恒力的杆最开始的加速度会大于a，不受恒力的杆最开始加速度为0，然后二者的加速度逐渐趋近于a，最终以相同的加速度加速；含容单杆模型中，二者则是一开始就以a的加速度加速，即导体棒一直做匀加速直线运动。用v-t图来示意的话，双杆模型大概是：
而单杆模型则是：

即单杆模型没有加速度变化的过程。
推广：下面，我们假设在这个模型中电容带电，则我们可以得到以下的v-t图。
(注：这里的v-t图没有认为电容的充放电瞬间完成。如果认为瞬间完成，v-t图大概是截距可正可负的一次函数)
如：

或是：
这些都可以和双杆模型等效起来。

小结

以上便是菜鸡博主想要介绍的一种等效的思考方式，可以用于过程的分析，也有利于结论的理解记忆。如果有不严谨或是错误的地方，欢迎在评论区斧正。如果有不一样的见解，欢迎分享给博主。

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小结

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