题目

题目背景
“真是太奇怪了，” OneInDark\sf OneInDarkOneInDark 对 OL⁣lYE\sf OL\!lYEOLlYE 说，“我去问炎翼鸟和 Dd(XyX)\sf Dd(XyX)Dd(XyX) 谁把我卷飞了，他们都说不是他。”

“这好办。” OL⁣IYE\sf OL\!IYEOLIYE 说完，便去找他们各谈了一次话，然后回来说：“我告诉他们，如果他们不说是谁，我卷爷就把他们卷飞；现在他们都承认是自己把你卷飞了。”

题目描述
给定 010101 串 SnS_nSn，其长度为 nnn 。求有多少个不同的 010101 串的序列 {S1,S2,…,Sn−1}\{S_1,S_2,\dots,S_{n-1}\}{S1,S2,…,Sn−1} 满足 Si(1⩽i<n)S_i\;(1\leqslant i<n)Si(1⩽i<n) 是 Si+1S_{i+1}Si+1 的子序列且 ∣Si∣=i|S_i|=i∣Si∣=i 。

数据范围与约定
n⩽2.5×105n\leqslant 2.5\times 10^5n⩽2.5×105 。

思路

等价于每次删掉一个字符。为避免重复，规定删掉的字符必须与下一个字符不同（或者是末尾字符）。

只与相邻元素有关，考虑区间 dp\tt dpdp 。记 f(l,r,v)(v∈{0,1})f(l,r,v)\;(v\in\{0,1\})f(l,r,v)(v∈{0,1}) 为，删去 [l,r][l,r][l,r] 内元素，且最后一个删去的元素不是 vvv 的方案数。有转移 f(l,r,v)=∑i=lr[ci≠v]f(l,i−1,v⊕1)f(i+1,r,v)(r−li−l)f(l,r,v)=\sum_{i=l}^{r}[c_i\ne v]f(l,i{-}1,v{\oplus}1)f(i{+}1,r,v){r-l\choose i-l}f(l,r,v)=∑i=lr[ci=v]f(l,i−1,v⊕1)f(i+1,r,v)(i−lr−l) 。只能做到 O(n3)\mathcal O(n^3)O(n3) 。

好的问题转化胜过万种优化。这也正是我只能永远地膜拜 OUYE\sf OUYEOUYE 的原因。我们换一种约定：删去 0 时，后一个数字必须是 1，而删去 1 时前一个数需为 0 。假设第 000 个字符是 0，第 (n+1)(n{+}1)(n+1) 个字符是 1，便无特例。此时，操作相当于 将某个 010101 变为 0/10/10/1 。

至此，我们还看不出什么。离谱的要来了：为了监视 010101 的连通情况，我们放一个 辅助元素 μi(0⩽i⩽n)\mu_i\;(0\leqslant i\leqslant n)μi(0⩽i⩽n) 在第 iii 个字符和第 (i+1)(i{+}1)(i+1) 个字符之间。对某个 010101 进行操作时，我们将二者之间的辅助元素也删去。不难发现任意时刻原串都是 01 与辅助元素交错的。

结论出现了：若 ci=0c_i=0ci=0，则 μi\mu_iμi 比 μi−1\mu_{i-1}μi−1 更早删除，反之则更晚。必要性是显然的。而这里实际上有两个命题，二者互为否命题；所以其逆命题成立，即该约束也是充分的。

无论是将操作局限于 010101 之上，还是添加辅助元素 μi\mu_iμi，我都不可能想到！我本发了宏愿，想要将此题做出；人类的力量太过弱小，不依靠 Dd(XyX)\sf Dd(XyX)Dd(XyX) 我永远也做不到！

而 μi\mu_iμi 的删除顺序唯一确定序列——删除 μi\mu_iμi 时，究竟是删 0 还是删 1 是可知的：本次操作后，原本 0 左侧的 μl\mu_lμl 和 1 右侧的 μr\mu_rμr 会相邻。那么二者的删除顺序就会告诉我们，中间夹着 0 还是 1，这也就是剩下的元素。

所以此题等同于经典老题不等关系，无非加了几个 ? 罢了。而 ? 相当于没有限制，所以两侧独立；按照 ? 切开，每个子段独立算就行了。时间复杂度 O(nlog⁡2n)\mathcal O(n\log^2 n)O(nlog2n) 。如果半在线卷积，可以 O(nlog⁡2nlog⁡log⁡n)\mathcal O({n\log^2 n\over\log\log n})O(loglognnlog2n)，但那也太毒瘤了

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