伽马函数

常用于概率论的计算，其实凑正态也行

Γ(α)=∫0+∞xα−1e−xdx\Gamma (\alpha) = \int_{0}^{+ \infty}x ^{\alpha -1}e^{-x}dxΓ(α)=∫0+∞xα−1e−xdx

如：

∫0+∞x5e−xdx=Γ(5+1)\int_{0}^{+ \infty}x ^{5}e^{-x}dx = \Gamma (5 + 1)∫0+∞x5e−xdx=Γ(5+1)
∫0+∞xe−xdx=Γ(12+1)\int_{0}^{+ \infty} \sqrt{x} e^{-x}dx = \Gamma (\frac{1}{2} + 1)∫0+∞xe−xdx=Γ(21+1)

性质

Γ(α+1)=αΓ(α)\Gamma (\alpha + 1) = \alpha \Gamma (\alpha)Γ(α+1)=αΓ(α)

Γ(12)=π\Gamma (\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi }Γ(21)=π

Γ(n+1)=n!\Gamma (n + 1) = n !Γ(n+1)=n!

例题

∫0+∞x3e−2xdx=116∫0+∞(2x)3e−2xd(2x)=116Γ(3+1)=3!16=38\int_{0}^{+ \infty}x ^{3}e^{-2x}dx = \frac{1}{16}\int_{0}^{+ \infty}(2x) ^{3}e^{-2x}d(2x) = \frac{1}{16} \Gamma (3 + 1) = \frac{3!}{16} = \frac{3}{8}∫0+∞x3e−2xdx=161∫0+∞(2x)3e−2xd(2x)=161Γ(3+1)=163!=83
∫0+∞x4e−x2dx=12∫0+∞(x2)32e−x2dx2=12Γ(32+1)=1232Γ(12+1)=123212Γ(12)=123212π=38π\int_{0}^{+ \infty}x ^{4}e^{-x^{2}}dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{+ \infty}(x ^{2})^{\frac{3}{2}}e^{-x^{2}}dx^{2} = \frac{1}{2}\Gamma (\frac{3}{2} + 1) = \frac{1}{2} \frac{3}{2}\Gamma (\frac{1}{2} + 1) = \frac{1}{2} \frac{3}{2} \frac{1}{2} \Gamma (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \frac{3}{2} \frac{1}{2}\sqrt{\pi } = \frac{3}{8}\sqrt{\pi }∫0+∞x4e−x2dx=21∫0+∞(x2)23e−x2dx2=21Γ(23+1)=2123Γ(21+1)=212321Γ(21)=212321π=83π

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