【同余定理（补充）】

分三类：口诀套用，化余为一，其他
“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。

同余公式也有许多我们常见的定律,比如相等律,结合律,交换律,传递律….如下面的表示:

1)a≡a(mod d)

2)a≡b(mod d)→b≡a(mod d)

3)(a≡b(mod d),b≡c(mod d))→a≡c(mod d)

如果a≡x(mod d),b≡m(mod d),则

4)a+b≡x+m （mod d）

5)a-b≡x-m (mod d)

6)a*b≡x*m (mod d )

7）当d为素数时若ab≡0 mod(d) 则有 a or b≡0 mod(d)

例1 证明：正整数a是9的倍数必须且只须a的各位数码之和是9的倍数。

证设a=an.10n+an-1.10n-1+…+a0

由10≡1 (mod 9)得10k≡1(mod 9),k=0,1,2,…,n，

所以 ak.10k≡ak (mod 9), k=0,1,2,…,n。

所以a≡a0+a1+…+an (mod 9)

因此 9|a的充要条件是 9| a0+a1+…+an 。

例2 设a=anan-1…a1a0,求11|a的充要条件。

解由10≡-1 (mod 11),得10k≡(-1)k (mod 11), k=0,1,2,…,n

而 a≡a0-a1+a2-…+(-1)nan (mod 11)

因此 11|a的充要条件是11| a0-a1+a2-…+(-1)nan.

例3 求正整数a能被7整除的条件。

解由于 1000≡-1 (mod 7)，从而1000k≡(-1)k (mod 7), k=0,1,2,…,n,

于是设a= anan-1…a1a0 (1000) 这就有a≡a0-a1+a2-…+(-1)nan (mod 7)

因此 7|a的充要条件是a0-a1+a2-…+(-1)nan ≡0 (mod 7) 这里的ai为三位数（一千进制）.

如当a=89101234579时，由于579-234+101-89=357≡0 (mod 7)，所以7|a。

所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称作同余问题。
首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以4、5、6为例，请记住它们的最小公倍数是60。

1、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，
此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。
例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。
【60后面的“n”请见4、，下同】

2、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，
此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。
例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。

3、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，
此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。
例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。

4、最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即上面1、2、3中的60n）都满足条件，
称为：“最小公倍加”，也称为：“公倍数作周期”。

余數問題中的一個重要問題就是同余問題，在同余問題解決過程中，推薦代入法和口訣法兩大類。其中口訣法是公倍數做周期，余同取余，和同加和，差同減差的應用，但是有時候會出現余不同，和不同並且差也不同的現象，這就需要我們採用剩余定理進行解決。

剩余定理的原理比較繁瑣，不如直接套用解題方法進行快速解題更能解決行測中的類似問題。下面給出一些例題，對剩余定理的解題方法加以熟練:
【例1】一個數被3除余1，被4除余2，被5除余4，這個數最小是多少？
【華圖公務員考試研究中心解析】題中3、4、5三個數兩兩互質。
則〔4，5〕=20﹔〔3，5〕=15﹔〔3，4〕=12﹔〔3，4，5〕=60。
為了使20被3除余1，用20×2=40﹔
使15被4除余1，用15×3=45﹔
使12被5除余1，用12×3=36。
然后，分別乘以他們的余數：40×1＋45×2＋36×4=274，
因為，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的數。
【例2】一個數被3除余2，被7除余4，被8除余5，這個數最小是多少？
在1000內符合這樣條件的數有幾個？
【華圖公務員考試研究中心解析】題中3、7、8三個數兩兩互質。
則〔7，8〕=56﹔〔3，8〕=24﹔〔3，7〕=21﹔〔3，7，8〕=168。
為了使56被3除余1，用56×2=112﹔
使24被7除余1，用24×5=120﹔
使21被8除余1，用21×5=105﹔
然后，112×2＋120×4＋105×5=1229。
因為，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的數。
再用(1000-53)/168得5, 所以在1000內符合條件的數有5個。
【例3】一個數除以5余4，除以8余3，除以11余2，求滿足條件的最小的自然數。
【華圖公務員考試研究中心解析】題中5、8、11三個數兩兩互質。
則〔8，11〕=88﹔〔5，11〕=55﹔〔5，8〕=40﹔〔5，8，11〕=440。
為了使88被5除余1，用88×2=176﹔
使55被8除余1，用55×7=385﹔
使40被11除余1，用40×8=320。
然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，
因為，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的數。
【例4】有一個年級的同學，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，問這個年級至少有多少人？
【華圖公務員考試研究中心解析】題中9、7、5三個數兩兩互質。
則〔7，5〕=35﹔〔9，5〕=45﹔〔9，7〕=63﹔〔9，7，5〕=315。
為了使35被9除余1，用35×8=280﹔
使45被7除余1，用45×5=225﹔
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×5＋225×1＋126×2=1877，
因為，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的數。
對剩余定理問題進行直接套用的方式是解決此類題目最快的方法，華圖公務員考試研究中心希望考生記住解題步驟，進行相關問題的解決。
來源：華圖教育

剩余定理的一般情况：
一个数，除以7余3，除以8余6，除以5余2，求满足这些条件的所有三位数。

卡卡西解析：

一个数除以7余3，可以把这个数字表示为7a+3，同理有5b+2 8d+6
7a+3=5b+2
7a+1=5b
a=2 b=3 最小公倍数35
35c+17=8d+6
32c+8+3c+3=8d（因为32C+8 肯定是8的倍数，所以不予再考虑）
3c+3=8d
C=7
35*7+17=262 262+280N

一个整数除300、262、205，得到相同的余数，问这个整数是几？

分析：根据同余的性质：此三数种任何两数的差都应是除数的倍数，即除数应是此三数中任两数的差的公约数。

解：300-262=38
262-205=57
（28，57）=19

12 ＋22 ＋ 32 ＋……＋20012＋20022除以7的余数是_。

方法一：
根据公式：1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
方法二：
÷7＝0…1， ÷7＝0…4， ÷7＝1…2， ÷7＝2…2， ÷7＝3…4， ÷7＝5…1， ÷7＝7（余数为0），， ÷7与 ÷7余数相同，同样地， ÷7与 ÷7余数相同，…….所以，每7个连续自然数的平方之和除以7的余数为1＋4＋2＋2＋4＋1除以7的余数，而（1＋4＋2＋2＋4＋1）÷7＝2（余数为0），而2002÷7＝286，所以原式能被7整除，即除以7的余数为0

今天星期一，1998的1986次方天后星期几？

1998的1986次=（265*7+3）1986次
=3的1986次
3^0 整除7的余数是 1
3^1 整除7的余数是 3
3^2 整除7的余数是 2
3^3 整除7的余数是 6
3^4 整除7的余数是 4
3^5 整除7的余数是 5
3^6 整除7的余数是 1
由此可见，6次一循环
所以：3的1986（1986/6=331，余数为0）次除7的余数为
3^0/7=1
1+1=2